Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

LIVRE II. - CIAP. I. - SYSTEMAES CONJUGUIUS.

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LIVRE II.
DES DIFFERENTS SYSTEMIES DE COORDONNEES CURVILIGNES.
CHAPITRE I.
SYSTEM:ES CONJUGUES.
Proposition de Ml. Kcenigs relative 5 la dCtermination, sans aucune integration,
d'une infinit6 de systemes conjugues sur toute surface. - Application a la cldtermination des surfaces admettant un syst6me de lignes de courbure planes
dont les plans passent par une droite. - Trajectoires orthogonales d'une famille
de cercles. - Caractere projectif et dualistique de la ddfinition des systemes conjugues. - Liaison entre tout systmene conjugue et une equation lin6aire aux
derivdes partielles. - Surfaces sur lesquelles il existe un systeme conjugud
fornme de deux familles de courbes planes.
91. Dans les differentes surfaces que nous avons etudlees precedemment, nous avons rencontre et employe des systlemes de
coordonnees curvilignes tres varies: les uns simplement orthogonaux, d'autres a la fois orthogonaux et isometriques, d'autres
enfin formes de lignes conjuguees. I1 est evident que, sur toute
surface, ii existe une infinite de systemes orthogonaux ou de
systemes conjugues; car, si l'on trace sur une surface une famille
quelconque de courbes, leurs trajectoires orthogonales ou leurs
trajectoires conjuguees seront dcfinies par une equation diff6rentielle du premier ordre et du premier degre, dont l'integrale existe,
bien qu'il ne soit pas toujours possible de la determiner. On ne
connait aucune methode qui permette de construire, sans aucune
integration, un systeme orthogonal sur une surface quelconque.
Au contraire, la belle proposition suivante, due a M. Kcenigs,
etablit que, quelle que soit la surface consiclre'e, il sera possible,