Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SURFACES DEFINIES PAR DES PR.OPRIETES CINEIMATIQUES. 109
cone de revolution
\ —' --- = const.
ayant pour sommet l'origine et pour axe l'axe de rotation; la projection de la trajectoire sur le plan des xy sera une spirale logarithmique ayant pour p61e l'origine des coordonnees. Si l'on
considere la spirale gauche decrite par le point comme appartenant au systeme mobile et variant de grandeur avec lui, elle
glissera sur elle-meme pendant toute la duree du mouvement,
absolument comme les helices decrites par les differents points
d'un systeme invariable dans le mouvement helicoidal.
Par suite, les surfaces qui admettent pour generatrices les
courbes definies par les formules (39) sont videmment les analogues, dans la theorie qui nous occupe, des surfaces helicoidales
et des surfaces de revolution.
Prenons pour 0o, too, zo des fonctions quelconques d'un paramitre 0. Les formules (39), qui donnent les expressions de x,
', z en fonction de t et de F, definiront la surface que nous nous
proposons d'etudier. Cherchons son element lineaire, nous trouverons un resultat de la forme
( 4o) ds2 = e2ht(A clt2 - B dt dO -- C d0O),
olI A, B, C sont des fonctions de 0 definies par les equations
- A- 7-+2-+ r2-2 4- hz2,
(41) g B = hzoz' 4- A70 7/-' -'- 7/'o,
C = 772 O ZT 7 O9
Nous allons transformer cette expression de l'element lineaire.
Posons
dIt -c dO - c- v,
A A
ce qui donne, en integrant,
t+ f-dO= X.
A 1A
L'element lineaire ceviendra
Cds = e2-2(' dc'2 i- C' dc02),
A' et C( etant encore des fonctions de 0. Enfin, substituons ia la