Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SURFACES DEFINIES PAR DES PROPRIETES CIEIMATIQUES. IO7
neaire de la surface sous la forme (')
ds -- R2 -dc — 2R[r R - (b'-+ raa) coso - (a'- br - i) sinp] dc dc
- [(pb -pR sin )2-+ (a' - - -br- R' cosp - 7R sincs)2
-(b'+ ra -+- R' sino s - rR cosop)2] dp2.
89. En terminant ce Chapitre, oil nous avons etudie surtout des
surfaces jouissant de proprietes cinematiques, nous allons donner
la definition d'une classe de surfaces se rapprochant h ce point de
vue des precedentes, et qui ont d'abord ete ertudiees par M. Maurice
Levy ().
Considerons un systeme qui se deplace, mais qui varie en meme
temps de grandeur enrestant semblable a lui-meme, et proposonsnous de chercher la loi des vitesses de tous ses points a un instant
quelconque. Soient P0, P, deux positions infiniment voisines.
Construisons la figure P' homothetique a P,, en prenant l'origine
des coordonnees pour centre d'homothetie, le rapport d'homothetie etant tel que P' soit egal a P0. On peut passer de P0 a P1
10 par un deplacement infiniment petit qui amene P0 en P', a~ par
une transformation hlomothetique ayant l'origine pour centre
d'homothetie et transformant P' en P. II suit de la que les vitesses
de tous les points du systemne sont les resultantes de celles qui se
produiraient dans le deplacement et de celles qui sont dues a la
transformation homothetique. Les premieres ont des expressions
bien connues
cc qz-7-y, - -rx -pz, ^- py-qx.
Quant a celles qui sont dues a ]a transformation homothetique,
comme elles ont pour effet de reduire les coordonnees dans le
meme rapport, elles ont pour expression
hx, hy, hz.
En resume, les composantes des vitesses d'un point du systeme
(') Les surfaces a g6enratrice circulaire ont 6ete tudi6es r6cemment par M. Demartres (Annales de l'Ecole Normale, 38 s6rie, t. II, p. I23).
(2) MAURICE LEVY, Sur le developpement des surfaces dont l'element lineaire
est exprimable par une fonction homogene ( Coneptes rendus, t. LXXXVII,
p. 788).