Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

106 LIVRE I. - CHAP. IX.
( 5) qui donnent les projections da deplacement sar les axes mobiles, de regarder x, y, z, non plus comme des fonctions de la seule
variable u, mais comme des fonctions de t e-t de v.
Proposons-nous, par exeinple, d'appliquer cette methode aux
surfaces engendrees par le mouvement d'un cercle. Le plan de ce
cercle enveloppera une surface developpable. Etudions le mouvement du triedre forme par la tangente, la normale principale el la
binormale en un point de l'arete de rebroussement de celte developpable. En prenant comine variable independante l'arc de la
courbe, on aura ici (n~ 4)
t = 1, T, = — 0, o --,
I I
P = - - q - O, ir ---
p et T etant les deux rayons de courbure et de torsion de la
courbe. Les projections du deplacement d'un point dont les coordonnees sont x,y, z, relativemnent aux axes mobiles, auront pour
expressions
cd -4- (I - ry) dv,
Cdy (rx -pz) d(',
dz py dc,
c designant l'arc de l'arete de rebroussement.
Le cercle qui engendre la surface se trouvant dans le plan
des xy, on peut exprimer les coordonnees d'un de ses points par
les formules
x = a +- R cosc,
y -- b - R sinc?,
= o,
oui a, b, R sont des fonctions de v, et oiu est la variable qui determine un point sur chaque cercle. En substituant ces valeurs
de x y, z, on aura, pour les projections du deplacement,
- R sine c? d+ (a'- - br -+ R' cos c- iR sin c) dv,
R cos? cd? -- (b' -- ra -- R' sin p +- rR cosc) dv,
(p b -- p R sin?) dve,

et la somme des carres de ces projections donnera l'element li