Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SURFACES DEFINIES PARI DES PROPRIETIES CINEIMATIQUES. 103
I1 suit de la que la developpable circonscrite a la surface en tous
les points de la courbe (c) decrite par le point M sera le cylindre
engendre par la tangente ern MI a la courbe (u). Cette simple
remarque suffit a demontrer que les deux families de courbes (u)
et (c) forment un systeme conjugue; et l'on voit de plus que les
developpables circon7scrites a la sturface en tous les points de
'7une de ces courbes sont des cylind/res, en gendrdes par les tangentes aux courbes de V'autre famnille, menees au point oil elles
rencont(rent laC co7urbe considderee (').
85. Enfin, nous traiterons le cas oi la courbe mobile (C) qui
engendre la surface est plane, et oil les vitesses de tous ses points
sont normales an plan. Nous supposerons que l'on ait pris le plan
de la courbe pour plan des xy du triedre mobile. On doit alors,
dans les formules ( 5) et (i6), introduire les hypotheses
(31) z = =o, T = 'r -- 7r= o.
Si l'on admet, de plus, que l'on a choisi pour z l'arc de la
courbe (C), on aura encore
X'2 - y'2 = I
et l'expression de l'ilement lineaire deviendra
(32) ds2 = du2 - ( I -py -qx)2 dc2.
Quant aux projections de l'arc decrit par un point quelconque M
de la surface, elles seront, d'apres les formules (1i),
dx, cl, ( +-py -q x) dv.
La normale a la surface sera dans le plan de la courbe, et ce
plan roulera sur une certaine surface developpable.
On reconnait les surfaces etudiees par Monge d'une maniere
detaillee ( 2 ).
Les lignes de courbure de Fun des systemes sont les diverses
(1) S. LIE, Beitrdcge zur Theorie der Mlinimalfldchen ( Mathematische
Annalen, t. XIV, p. 332-337).
(2) MONGE, Application de I'Analyse & la Geometriie, 5e 6dition, p. 322. De la
surface courbe dont toutes les normales soI7t tangentes d une me7me sucface
developpable quelconque.