Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

102 LIVRE I. - CHAP. IX.
(25) et (2-6), et, d'apr~s les formules (2-6), p et q seront les de'rivies de z-, considerede comme fonction de x et dey.
84. On peut, formutler la condition trouve'e sons une forme diffe'rente. L'6qtiation (2-7) est e'videmrnent le resultant de 1'e~1iminaLion de A et de 13 entre les trois 6quations
/dx Ox ax
Olt O Olt 0C
(28) 0 -_ A~ B0 0
d2Z A dz dz
dudvTi dc
Nous obtenons ainsi la proposition suivante
La condition negcessair-e ct sufitsante pour7 que les lig-nes (it)
ct (c) so ient Co7njUgulles est que les expressions des tr-ois coordonneeS r-ectangulaires en fonction, de it et de c satisfassent a'
tine me~me eq uation, line'Cir-e
___ dO
(29) 20= A 2-+B
dud duOl d
o i~tABdsignent desfonCtions quelconques de it et de v.
Cette proposition, sur laquelle nous aurons "a revenir pour la
completer et la ge'neraliser, joue un r'ole tre~s important dans la
the'orie des surfaces.
Si nous l'appliquons aux surfaces qui nous occupent, nous
voyons imme'diatement que les trois coordonne'es saiisfont 'a
I'equation
(3o) 0~~~~ ~~~~~2 0 0
(3o) ~~~~~~du dv
et, par consequent, les deux syste~mes de eourbes invariables qui
engendrent ici la surface sont des lignes conjugue'es. Au reste, la
Ge'ome'trie permet, aussi d'obtenir tre~s simplement, ce re'sultat.
Conside'rons, en effet, les deux families de courbes (it) et (v).
Dans la translation d'Line courbe (it), chaque point M de cette
courbe de'crit une courbe (cv). D'autre part, Ia tangente en M "a la
courbe (it) conserve, dans la translation, uLne direction invariable.