Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SURFACES DEFINIES PAR DES PROPRIETES CINEMATIQUES. IOI
ou, en supprimant les termes qui se detruisent,
(23Tt (x - X) gX-)+- (Y-y) = o.
Pour exprimer que les courbes (u) et (v) sont conjuguees, il
faudra ecrire que les equations (22), (23) sont verifiees quand on
y remplace X - x, Y -y, - z par, -Y *' Cela donneles
deux equations
Oz _ ox.3y
=P - -- q ')
(24) )p Ox dq 7y
\ Ott Ov tOt 7v
La premiere est toujours satisfaite, car elle exprime ce fait evident que la tangente a la courbe z const. se trouve dans le
plan tangent. Quant "a la seconde, elle est identique a la suivante
3 (*x dy\,2x d2y
itP-; p q -v -- U q-7tv = o0
ou, plus simplement,
d 2z d2x d 2y
(25) - -P ~ - - q v =.
Si l'on remarque maintenant que p et q sont determines par les
equations
oz Ox dy O.z Ox dy
(26) -- q P d = - q
in -- -u =v + q ent
on pourra eliminerp et q entre les equations (25) et (26), et l'on
sera conduit a l'equation
d2X OX dx
Olt dv d it dv
d2y dy dy
(27) Oudv Otu = o,
02z dz dz
du do du dv
qui est symetrique par rapport aux trois coordonnees. Cette relation, qui est d'ailleurs necessaire, est aussi suffisante; car elle exprime qu'il y a des valeurs de p et de q satisfaisant aux equations