Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

SURFACES DEF[N[ES PAR DES PROPRIE~TES CINEINATIQIJES. 97
Conside'rons tine courbe (C) et un systerme d'axes mobiles invariablem-entlie' 'a la courbe. Supposons que la position de la courbe
et des axes mobiles de'pende d'Un parametre c qui jouera. le ro~le
du temps, et soient,, ~p, q, 7r les translations et les rotations
dii systdmne mobile. Ces six quantit's seront, fonctions de c. De'signon s par x, yz les coordonne'es d'un point quelconque M de la
coiirbe par rapport, aux axes mobiles; x, yzseront, des fonctions
donne'es d'un paranmhtre it.
Si les axes mobiles se de'placent,, et, que le point, M se de'place
en M eme temnps d'une mame're quelconque sur la courbe, les projections de lFarc i'nfinimient petit diicrit par le point, seront
(I 5) dy( rX -pz) Av,
clz+(-4-py-q x) A'
Posons, pour abre'ger,
J/u /du d' cZ
le carre' de l''ll'ment, line'aire de la surface engendre'e par la courbe
aura pour expression la somme des carr6s des trois projections,
c'es t,-a-dire
C/s2 (X' y'I_,Z2 d
(6) ~2 Xf Y r ' X, yI Z ) dii dv
80. 11 suffirait, d'introduire dans cette formule des hypothieses
speciales, convenablement choisies, pour retrouver tons les r6'sultats precedents.
Supposons, par exemple, que l'on veuille obtenir 1e'lement
line'aire des surfaces re'gl~e's. On prendra. pour axe des z du triedre
mobile la ge'neratrice rectiligne de la surface, et, 1on fera de'crire
'al'or igine du trie'dre une trajectoire orthogonale des ge'neratrices.
Cela donne les conditions
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D. -- I.

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