Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I. - CHAP. IX.

ne sont pas superposables. Considerons, en particulier, le cas ot
l'on a
U2 = u2 - a2,
et supposons m = i. Les formules precedentes deviendront
= -/2 4-2- a h2
CIO = /a- h
d a2 -- a2- /1 j2 -i- a2 du,
h do
dIvl: C dv
dv = - (1 - -- - a
a2 -,- a2
Si lon donne 'a h toutes les valeurs comprises entre o ec a, on
aura une serie continue d'helicoides, Lous applicables les uns
sur les autres. Is presenteront toutes les formes intermediaires
entre l'alysseide et l'helicoide gauche c plan directeur, qui sonL
les termes extremes de cette serie et qui correspondent respectivement aux valeurs o ct a de l'arbilraire h.
76. Revenons aux formules geinerales (7). Si l'on y fait h =- o,
on obtient des surfaces de revolution, toutes applicables les unes
sur les autres, aussi bien que sur les helicoides generaux definis par
ces equations. Elles sont determinees par le systeme tres simple
x ZaU cos -,
a
(8) 'y= ay U sin-,
a
z f v/i - a2 U'2 dia,
otl a est mis a la place de nm.
Quand on fait varier le parametre a on obtient une suite continue de surfaces; nous signalerons, sans les demontrer, les proprietes suivantes que nous rattacherons plus tard a des theoremes
generaux.
Si l'on considere sur toutes ces surfaces les points qui correspondent a une meme valeur de u: I~ le produit des rayons de courbure principaux en ces points sera le meme pour toutes les surfaces;
2~ la tangente au meridien, prolongee jusqu'a sa rencontre avec
l'axe, aura aussi la mmee longueur pour tous les points consideres.
Nous indiquerons plus loin une application de cette derniere propriete, et nous allons etudier deux exemples particuliers.