Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, par Gaston Darboux.

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LIVRE I.- CHAP. IX.

prend pour z0 Line foncLioD quelconque de p, les coordonnees x,y, z
de-viendront des fonctions des deux variables p el v,; les formules
prcdentes definiront la surface helicoideIa plus g'n'rale. Faisons
zo-0)
el calculons Feledment line'aire de Fh'hlicoide. Nous trouverons
En transformant le second membre, on obtient
(2) dS2 Ij p4 2 ~h ) dp 2 ~( 2~ —h2 )( d vi. hu'd
Si l'on introduit les deuK nouvelles variables it, y' definies par
les quadraLures suivantes
dit do VI ~ _ 2Q'2
o 2 ~ 2 '-~ 2
p02 -i — It2 deviendra une fonctlion de u que nous des~ignerons par U2,
et 1'el~ment line'aire sera rarnene' 'a la forrne
(4) ~~~~~dS2 = clU2 -HU2 dV2.
Les courbes u t coust. sonl les helices tracees sur la surface;
el, par suite, les courbes o - const. 'soul les trajecLoires orthogonales de ces helices. On reconnaiL ainsi. que ces trajectoires se d'
Lerminent par une simple quadrature.
74. La formne (4) de e'~le'menL line'aire est idenLique "a celle que
nous avons de'ja obLenue pour les surfaces de revolulion (no 64). Oil
sait, d'ailleurs, que ces dernie'res surfaces peuven alre conside'rees
comme des formes lirnites des he'licoides ge'neraux, correspondanles Iau cas oiui Ie pas commun des helices devient nal. On pent
done pre'voir que les he'icoYdes sont applicables sur des surfaces
de revolution. Ce beau theorerme est du 'a Bour, qui l'a e'tabli dans
son liimoire Sur7 la d~for-mation des sur-faces (Journial de
l'Ecole Polytechnique, XXXIXe Cahier, p. 82-). Pour le de&
montrer, nous ferons voir que la forme (4/) de ele'dmen l1ine'aire,
donne'e a prior-i, convient 'a une infinite' d'he'lico~des, parmi lesquels se Irouvent toujours des surfaces de revolution.