Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Von dr. Edmund Landau.

732 LXVIII. Das Konvergenzgebiet einer Dirichletschen Reihe.
Satz 51): Wenn die Konvergenzabszisse einer Dirichletschen Reihe > ist, ist sie durch die Formel
x
log an
a = lim sup =1
X =oo 0 x
gegeben.
x hat dabei ganzzahlige Werte zu durchlaufen. Der Satz wird
sich auch im Falle a = oo als wahr herausstellen.
Beweis: 1. Es ist zu beweisen: Wenn der wegen der vorausgesetzten Divergenz der Reihe für s = 0 nicht negative Ausdruck
x
lim sup - = L
x = x00 X
gesetzt wird, so ist, falls L endlich und d > 0 ist, die Reihe
Co
f(S) ane- Ins
-- = ane- s
n=l
für s = L + 6 konvergent; das bedeutet alsdann. <L.
In der Tat ist, wenn
(x)
n == Äx)
n=l
gesetzt wird, von einem gewissen ganzzahligen x an, d. h. für
x > =t (d) erstens
x>0,
zweitens
log A (x) I L
X - < L -
2x (L+~)
IA(x) < e,
daher ist wegen
an e-2"l =s2 (A(X) - A(n - e)) —2n
n= v 7 = v
w
=2jA(n)(n -'_- e-n+1) - A(v - )e-t + A(w)e~- +l
1) Vgl. ~ 32 für den Spezialfall n =log n; damals waren die an noch reell
vorausgesetzt. Offenbar gilt der folgende Beweis auch im Falle a = 0, wenn die
Reihe für s =0 divergiert oder gegen einen von Null verschiedenen Wert konvergiert.