Lezioni di geometria differenziale.

IL TEOREM\A 11) SCH:UR41

441

Supposti i tre indici i, h, 1 diversi si moltiplichi questa per A., e si
sommi da r 1 a r =n, e risultera'
a,, - 0.
Se qui teniamo fissi h, le e diamo a l tutti i valori da 1 a n, se ne conclude
che sara'
2K 2 K
altrimenti si annullerebbero tutti i minori della matrice
a,,, a,,2 a
indi anche il discriminantie a. Dunque: tutte le derivate della curvatura K si
annullano e K e' una costante, c. d. d.
~ 438.
Le tre curvature priricipali in uno spazio S3 *)
iRitornia~mo ora al caso di uno spazio curvo con una forma qualsiasi del
ds2, ma supponiamo n 3 per studiare piii da vicino negli spazii S,, a tre
dimensioni la distribuzione delle curvature Riemanniane attoino ad un
punto, nelle diverse orientazioni. In questo caso la formola Riemanniana
(* I risultati che quLi espolianmo pei caso n=3 possono considerarsi come gift
implicitamente contenuti nella memoria fondamentale di CRISTOFEFEL (1869), ove
~ riconosciuLta 1'esistenza di. tre imvarianti di/Jerenziali per un dS2 a tre variabill; questi invarianti corrispondono, appuanto alle tre curvature principali. La
considerazione dei tre, iassimi (o minimi) della cuarvatura appare, per quLainto
sciubra, la prima volta in una memoria di Souvorof: Sur tes caracte'risfiques
des stysI~mes de trois dimensions pubblicata in lingua russa (Kasan 1811); unnanalisi di questo lavoro fu pubblica-ta dali' autore nel T. TV del Bulletin des sci'ences
mathe'matiques (1873). Successivamnente Scnuiz nel citati lavori (1886) ritorna brevemente sualla legge di variazione delle curvature Riemanniane, nelle diverse
orientazioni. 11 nome di earvatuare principali adottato nel testo venne introdotto
dal Ricci nella mnemoria: Sui gruppi contiuuti di mnovimeuli Societh dei XL T.
XII 1899).