Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zehntes Kapitel: Die Slusesche Konchoide. 73
43. Kombinieren wir die Gleichung (2) mit y =- x, so erhalten
wir folgende parametrische Darstellung:
_____ k223
x a + a(1 + ) + a( + 2) * * (3)
Daraus leitet man leicht folgende Bedingung für die Kollinearität der
drei Punkte (cb), (j3), (y) ab:
ß + y + f =a...... (4)
Infolgedessen hat die Kurve (abgesehen von einem unendlich fernen
Wendepunkt) noch zwei Wendepunkte in endlicher Entfernung'),
deren Parameter gleich + -1/a und deren Koordinaten
3a
4a(a +- k2) 4(aa + k2)2
x 4 a+k2 Y - v (4a2+ k) sind
Durch Elimination von k erhalten wir die Gleichung
x (x2 + y2) 4 ayc
welche eine Cissoide darstellt; wir erhalten daher folgenden von Sluse
entdeckten Satz2): Der Ort der Wendepunkte aller Sluseschen Konehoiden, die denselben Doppelpunkt und dieselbe Asymptote haben,
ist eine Cissoide des Diokles, die jenen Punkt als Spitze und ihre
Asymptote parallel jener, aber in einem vierfachen Abstande von
dem singulären Punkte hat.
Die Gleichungen (3) liefern uns:
a2 ( + ay + a + ay) - (2 +- k2) (a + c + y++- ) = O (5)
als Bedingung der Koncyklität der vier Punkte (c), (/), (y), (6).
Überlassen wir es dem Leser, daraus abzuleiten, dafs durch jeden
Punkt der Konchoide drei Kreise gehen, die sie anderswo oskulieren;
die drei Oskulationspunkte gehören immer einem Kreise an, der durch
den Anfangspunkt geht; dagegen giebt es in jedem Punkte der Kurve
zwei Kreise, die die Kurve hier berühren und noch in einem anderen
Punkte u. s. w.
Wir schliefsen mit dem Beweise einer Bemerkung von Neuberg3),
dafs die Sluseschen Konchoide die Fufspunktkurve einer Parabel in
Bezug auf einen Punkt der Axe ist. In der That hat die Fufspunktkurve der Parabel y2 = 2px in Bezug auf den Punkt (a, 0) die Gleichung
2x (x - a)2 + 2 (x - c) y + py2 = 0;
1) Die Bestimmung derselben ist in einem Briefe von Sluse vom 12. Jan.
1663 (vol. cit. S. 292) angegeben als von Huygens ausgeführt.
2) S. den zuerst citierten Brief von Sluse.
3) S. eine Bemerkung in dem angeführten Artikel Une conrbe oublice.