Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

730 Nachwort.
berührt wird, sind sämtlich Tangenten einer und derselben algebraischen Kurve.
Ein Spezialfall dieses Satzes war zur Zeit schon bekannt, indem Juel
bemerkte, dafs die Normalen einer Epi-(oder Hypo-)Cykloide in den Punkten,
in denen sie von den Strahlen eines Strahlenbüschels berührt wird, alle
denselben Kegelschnitt berühren (s. S. 494).
Ähnlich kann man beweisen den folgenden
Satz XIV. Die Tangenten einer panalgebraischen Kurve in
den Punkten von der Art, dafs die entsprechenden Normalen durch
einen Punkt gehen, sind zugleich Tangenten einer algebraischen
Kurve.
Die bisher bekannten transscendenten Kurven, die nicht panalgebraisch
sind, sind noch so wenig zahlreich, dafs er als verfrüht und unklug erscheinen mufs, schon jetzt ein Kriterium für ihre Klassifikation aufzustellen.
Dennoch scheint es uns nützlich zu sein, bevor wir schliefsen, auf einen
Begriff hinzuweisen, auf den man zurückgreifen könnte, um wenigstens
einige von diesen unterzubringen. Sowie man alle die transscendenten
Kurven, bei denen die Berührungspunkte der von einem beliebigen Punkte
der Ebene gezogenen Tangenten auf einer algebraischen Kurve liegen,
in eine erste Klasse zusammenfafst, so könnte man eine zweite Klasse
bilden von solchen, bei denen jene Punkte auf einer panalgebraischen
Kurve liegen; dann eine dritte Klasse, bei denen jene Punkte auf einer
Kurve der zweiten Klasse liegen u. s. w. Diese neuen Kurven genügen einer Differenzialgleichung von höherer als der ersten Ordnung,
deren Koeffizienten ganze, rationale Funktionen von x, y sind.
Möge das zwanzigste Jahrhundert, gewappnet mit allen ihm aus den
vorigen Jahrhunderten überkommenen Hilfsmitteln, es dahin bringen, dafs
die allgemeine Theorie der transscendenten Kurven aufhört, ein sehnlichst
erwünschter und unerfüllter Traum der Geometer zu sein. Wenn für derartige Bestrebungen die vorliegende Schrift ein Vorbereitungs- und Hilfsmittel sein könnte, so würde der Verfasser für die Mühe, die ihm die
Abfassung dieses Buches verursacht hat, reichlich entschädigt sein.