Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

728 Nachwort.
cp?i 0
H -0....=.... (8)
ax y a
Man beachte nun, dafs man sich die Gleichung der Para-Hesse'schen einer
panalgebraischen Kurve immer in dieser Form geschrieben denken kann.
Löst man nämlich die Differenzialgleichung (2) auf nach y d=, so erhält man ein Resultat von folgender Gestalt
dx p (9)
wo (p und 9 bestimmte, immer endliche Funktionen von x sind; sucht
man nun die Bedingung dafür, dafs die Parapolare des Punktes (X, Y),
nämlich die Kurve X-x
Y-y
einen Doppelpunkt habe, so findet man in der That die Gleichung (8).
Diese Bemerkung führt uns zur Entdeckung einer anderen wichtigen
Eigenschaft, die allen panalgebraischen Kurven gemeinsam ist. Differenzieren wir die Gleichung (9), so finden wir
a ~ a (cp l a (p\
d28 F -Hä ~x 'ay ay)
y -
dx2 ~3
das will besagen, dafs
d2y.f
dx2 - 3
Aus diesem Ausdrucke geht hervor, dafs für alle Punkte, in denen
H==o, p= 0, auch dx2 ==0 ist, daher sind diese Punkte für die
Integralkurven der betrachteten Differenzialgleichung Wendepunkte. Umgekehrt hat man für einen Wendepunkt der Integralkurve d2- = 0, daher
mufs, weil 9 immer eine endliche Funktion ist, - = 0 sein. Es liegen
daher auf der Para-Hesse'schen die Wendepunkte aller (speziell einer jeden)
der betrachteten Integralkurven. Wir schliefsen somit den
Satz XI. Die Wendepunkte jeder panalgebraischen Kurve
liegen auf einer algebraischen Kurve.
Und wegen der Dualität (s. Satz I) können wir auch schliefsen auf
den folgenden
Satz XII. Die Spitzentangteten jeder panalgebraischen Kurve
berühren eine algebraische Kurve.
Aus XI ergiebt sich eine bequeme Methode, die Gleichung der ParaHesse'schen einer panalgebraischen Kurve zu finden. Wenn diese nämlich