Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

722 Nachwort.
die kartesischen in Polarkoordinaten. Diesem einfachen Verfahren verdanken ihre Entstehung aufser der logarithmischen Spirale (zu der man
allerdings auch auf anderem Wege gelangt) die hyperbolische (Nr. 188)
und die parabolische (Nr. 187) Spirale und die höheren Grades (Nr. 185);
ferner der Lituus (Nr. 190), sowie ein grofser Teil der algebraischen
Spiralen (Nr. 188). Indem man ein ähnliches Verfahren auf die gewöhnliche Traktrix anwandte, gelangte man zur Traktrix complicata
(Nr. 232).
Die geometrische Methode des Cartesius und Fermat, wenngleich sie von
dem allerhöchsten und unbestreitbaren Nutzen ist, bietet dennoch unter
Umständen ziemliche Unbequemlichkeiten, die man vergeblich zu leugnen
oder zu beseitigen versuchen würde: die erste derselben ergiebt sich aus
der Notwendigkeit, dafs man immer die Koordinataxen zu berücksichtigen
hat, und zwar als fremde und häufig hinderliche Elemente. Die Versuche,
diesen Unbequemlichkeiten auszuweichen, gehen bis zum Ende des 18. Jahrhunderts zurück. Dies zeigen folgende Worte, die Lacroix in der Vorrede
seines grofsen Traite du Calcul differentiel et du Calcul integral (Paris 1797)
S. XXV schrieb:,En ecartant avec soin toutes les constructions geometriques, j'ai voulu faire sentir au lecteur qu'il existoit une maniere d'envisager la Geometrie, qu'on pourroit appeler Geometrie analytique,
et qui consisteroit a deduire les proprietes de l'etendue du plus petit
nombre de principes, par des methodes purement analytiques, comme
Lagrange l'a fait dans sa Mechanique a l'egard des proprietes de l'equilibre et du mouvement." Diese Richtung in der Geometrie, meisterhaft
innegehalten in den Werken besonders eines Hesse und Clebsch, hat
schliefslich dazu geführt, das Studium der ebenen Kurven mit der Theorie
der ternären algebraischen Formen zu identifizieren: ihr verdanken wir
fast die ganze allgemeine Theorie der algebraischen Kurven, auf ihren ungeheueren Wert hinzuweisen, wäre daher überflüssig. Aber auch sie genügt
noch nicht vollständig den Wünschen nach Befreiung von der unumgänglichen Betrachtung solch künstlicher Elemente, wie die Koordinaten sind,
dem Bestreben eine analytische Geometrie zu besitzen, die ausschliefslich
mit Elementen operiert, die mit der zu untersuchenden Kurve in engem
Zusammenhange stehen. Diesem Bedürfnisse zu genügen, versuchte Leibniz
mit seiner Characteristica geometrica, und dies gelang Grafsmann durch den
in seiner Ausdehnungslehre enthaltenen geometrischen Kalkül. Dies zu
erreichen waren auch diejenigen bemüht, die eine Kurve durch eine Gleichung darzustellen suchten, in welcher keine künstlichen Elemente, sondern nur solche vorkommen, die mit der Gestalt der Kurve zusammenhängen, wie Bogenlänge und Krümmungsradius. Die Anfänge dieser
Methode sind schon mehr als ein Jahrhundert alt, und schon 1798 bemerkt Lacroix im II. Bande des vorhin rühmlichst erwähnten Traite,
nachdem er davon eine Anwendung gemacht hat (S. 392): ~cette maniere
de presenter l'equation d'une courbe, est remarquable en ce qu'elle n'emploie que des quantites absolument inherentes a la courbe proposee et
qu'elle ne laisse d'arbitraire que le choix du premier point." Andere
Beiträge für denselben Gedankengang liefern die beiden Werke von
C. F. Krause und A. Peters, die wichtigen Abhandlungen von Whewell,