Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

48 II. Abschnitt: Kurven dritter Ordnung.
Mittelpunkte M der Strecke BC ist dann die fragliche Kurve." Nehmen
wir 0 als Koordinatenanfang und das von 0 auf a gefällte Lot 0A
zur x-Axe, so können wir als Koordinaten von B nehmen bezüglich
r. cos o, r sin o; die Gleichung der Tangente b ist daher
x * cos co + - sin C - r= 0.
i — COSco
Die Koordinaten von C sind x =- r, y = - s- daher werden die
Koordinaten von M ausgedrückt durch
x= (1 + cos o), y -- sin)o + - ).. ()
Diese parametrische Darstellung beweist inzwischen die Rationalitäit
der fraglichen Kurve. Eliminieren wir co, so ergiebt sich
4 (X y 2) = 2 ( + 3 x). (4)
Die Kurve selbst ist also eine cirkulare symmetrische Kurve dritter
Ordnung, die den Punkt R ( — 0) als isolierten Punkt, 0 als Brennpunkt und die y-Axe als Wendeasymptote hat. Um zu zeigen, dafs sie
eine Cissoide ist, bezeichnen wir den A diametral gegenüberliegenden
Punkt mit D und die entsprechende Tangente mit d. Ziehen wir D B
und OC, so sind diese parallel, indem beide zugleich senkrecht auf AB
stehen. Wir ziehen durch M1 die Parallele zu beiden, diese trifft die
Radien OB und OD in ihren Mittelpunkten E bezw. B und schneidet
d in F. Die rechtwinkligen Dreiecke DFR und BME sind kongruent, also BF-= ME, und daher RM - = EF. Folglich ist der
Ort der Punkte M eine Cissoide, die entsteht, wenn man R als den
festen Punkt und die Gerade d und den Kreis um 0 mit - be2
schrieben als Fundamentalkurven nimmt. - Wir wollen noch bemerken, ohne dies weiter zu beweisen, dafs man die soeben gekennzeichnete Kurve auch erhält, wenn man einen Kreis einer geeigneten
quadratischen Transformation unterzieht.1)
30. Zu einer anderen Kurve dritter Ordnung, die auch eine wirkliehe Verallgemeinerung der Cissoide ist, gelangt man durch folgende
Konstruktion (Taf. I, Fig. 5): "Gegeben ein rechter Winkel OB(-,
auf dessen Schenkeln die Punkte 0 und C festliegen, man ziehe durch
C einen beliebigen Strahl, der B0 in D trifft; durch D ziehe man
die Senkrechte zu DC und projiziere auf diese den Punkt 0 in 3M.
Der Ort der Punkte M ist eine Kurve, die wegen ihrer SchlingenForm Ophi uride (oiösg, Schlange, und ovoc, Schwanz) genannt ist2)."
1) Retali, Sur une cubique circulaire (Mathesis 2e Serie, VIII, 1898).
2) Uhlhorn, Entdeckungen in der höheren Geometrie (Oldenburg, 1809, S. 12).
Vgl. a.uch Blasel, Die Cissoide und eine ihr verwandte Kurve (Progr. Neifse 1881).