Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zwölftes Kapitel: Die von einer Kurvengruppe abgeleiteten Kurven. 709
und diese Beziehungen geben analytisch die Beziehung zwischen den
Koordinaten des Punktes P und denen seines dritten Gegenpunktes
wieder. Wird nun dieses Verfahren wiederholt, so gelangt man zu
dem Ergebnis, dafs zwischen den Koordinaten x, y des Punktes P und
denen seines rten Gegenpunktes P, (x^, yr) die Beziehungen bestehen:
r+l r-1 r-1 r —1
wenn r T 2 ^ U U_2_
ungerade, X Xr Yr Dr ()
r r r r
wenn r ) T 2. U 2 T. 2. U 2
wenn r r
gerade, }J x X — r r Y r — D
Zwischen P und Pr besteht also eine Cremona'sche Transformation
(2r + 1)ten Grades. Den Geraden der einen Ebene entsprechen in der
anderen Kurven (2r + 1)ter Ordnung, die man als Verallgemeinerungen
der Strophoide ansehen kann (und zwar der geraden, wenn co = 90~,
der schiefen, wenn cm o 900 ist).
Zwölftes Kapitel.
Die von einer Kurvengruppe abgeleiteten Kurven.
284. Die bisher in diesem Abschnitte behandelten Kurven sind
alle nur von einer einzigen Kurve abgeleitet; das Beispiel der Jacobischen Kurve dreier gegebenen zeigt aber, dafs man auch aus einer
Kurvengruppe eine neue Kurve ableiten kann. Auf andere derartige
Ableitungsgesetze soll nun in diesem Schlufskapitel hingewiesen
werden, wir wollen uns in der Regel jedoch darauf beschränken, ihre
Definition zu geben und die bezüglichen Arbeiten anzuführen, da es
sich um Linien handelt, die nur von minderer Wichtigkeit sind.
I. Es seien m Kurven rF durch ihre Polargleichungen k= f (co)
gegeben (wo kc==, 2,....), und m Zahlkoeffizienten Äi, 2,... Äin,
dann stellen die beiden Gleichungen
k==m k=mn
Q=Z k )fk( ). (... (1) und 2... (2)
k=l k=l
zwei neue Kurven dar; da die beiden rechten Seiten dieser Gleichungen
Funktionen sind, die man als eine Verallgemeinerung des arithmetischen
bezw. harmonischen Mittels der m Gröfsen f. ansehen kann, und demnach als hyperarithmetisches bezw. hyperharmonisches Mittel genannt