Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Fünftes Kapitel: Verallgemeinerungen der Cissoide. 47
die Kurven bezüglich in den Punkten P1 und P2 trifft, auf dem
Strahle bestimme man den Punkt P so, dafs O =P- OP1 + OP2 sei.
Der Ort r der Punkte P ist eine allgemeine Cissoide"1). Wenn
man die Polargleichungen der beiden Kurven Fl und ~2, q =/ f(co),
2, = f2 (o) kennt, so findet man alsbald die von r als Q -= f, (o) + f2 (o).
Nennen wir nun die polaren Subnormalen von 1, ~j, ~2 bezüglich
ha dt m ds d = he
Sn, Sn, Sn,, SO hat man S = und daher
$ - dco 1 ni - deo - deo
Sn = S, + Sn2. Daraus folgt, wenn man die Tangenten an die
Kurven r, und 1- konstruieren kann, man alsbald s.,l und s", hat,
und also auch s.n dafs man dann auch im stande ist die Tangente
in allen Punkten der Kurve r zu konstruieren2). -- Durch Anwendung dieser Idee ist man nicht nur im stande, die Tangente an
die Cissoide des Diokles auf eine von der durch Fermat (s. Nr. 25)
mitgeteilten verschiedenen Weise zu ziehen, sondern man kann auch
an die schiefe Cissoide und alle Cissoidalkurven die Tangente ziehen.
Es soll noch bemerkt werden, dafs in der dargelegten Konstruktion der allgemeinen Cissoiden die Kurven r1 und P2 auch
zusammenfallen können; es entsteht dann folgende Konstruktion:
Gegeben eine Kurve z und ein Punkt 0 ihrer Ebene, nennen wir
P1 und P2 zwei der Schnittpunkte der Kurve mit einem durch 0
gezogenen Strahle r, und nimmt auf der Transversalen einen Punkt
P, so dafs OP= OPi + OP2, so ist der Ort der Punkte P eine
Cissoide. Z. B. ist z/ ein Kreis mit dem Radius a und hat der
Punkt 0 vom Mittelpunkte C die Entfernung b, so hat die Cissoide
(für 0 als Pol und OC als Axe) die Polargleichung:
- = 2ia2 - b2 sin2 co.
Die Kurve ist, wie wir später sehen werden, eine Lemniskate von
Booth (Abschn. III, Kap. 4), und wenn b = a l/b eine Bernoullische
Lemniskate.
Unter den zuletzt allgemein definierten Cissoiden findet sich eine
cirkulare symmetrische Kurve dritter Ordnung, die auf den ersten
Blick nicht in diese Kategorie zu gehören scheint3). Ihre Entstehungsweise ist folgende (vgl. Taf. I, Fig. 4): ~Gegeben ist ein Kreis mit dem
Mittelpunkte 0 und dem Radius r, sowie eine feste Tangente des —
selben a; man betrachte nun eine bewegliche Tangente b deren
Berührungspunkt B, und deren Schnitt mit a C sei; der Ort der
1) Schulz von Strafsnitzky, Über die Cissoide der Kurven (Baumgartners
Zeitsehr. für Phys. und Math., VIII, 1830); Peano, Applicazioni geometriche del
caleolo infinitesimale (Turin 1887) S. 85-86.
2) Peano, a. a. 0.
3) Jerabek, Sur tne cubique cbi irclaire (Mathesis 2. Serie, VIII, 1838).