Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

704 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
In diesem Falle ist r also eine Parabel oder Hyperbel, die algebraisch
oder interscendent ist, je nachdem p und q beide rational sind oder
nicht.
2. Fall. t2 t + m + i) =(t-p)2. In diesem Falle hat
t p t
= - _ _p
t2 __a (a (t - )2 (t -p)
t +\n + J
daraus ergiebt sich bei der Integration von (2)
logx - t + log (t -p) = log c,
t- p
p
oder x(t-p) -cetpx
bezw. y- px cey...C..... (4)
r ist demnach immer eine transscendente Kurve.
3. Fall. t2 a t + ( -+ 1 (tl+-)2+ 2. Setzt man t+, so ist
t-dt (v - a) dr 1 d(r2 + p2) _ d_
(t+a)2 +P2 v2+2 + + 2+2 z " t+ 2
folglich liefert Gleichung (2)
log x +- log 2 - 2 - arc tg log c,
oder x ]/(t + a)2 + 2 = ee a,
a Y+ax
arc tg
und endlich /(y + x)2 + ß22 = e..... (5)
Dieses Beispiel läfst hinreichend erkennen, dafs der Übergang von
r, zu r in der Regel zu ziemlich komplizierten Kurven führen dürfte.
Die für r, angegebene Konstruktion führt von selbst zu einer
anderen Kurve F, die in folgender Weise konstruiert wird. Die
Daten seien dieselben, man läfst aber dem Punkte M denjenigen
Punkt M2 entsprechen, in welchem der Radius vector OM die durch
P zur Tangente in M gezogene Parallele schneidet; r2 ist dann
der Ort des Punktes M2] wenn M die Kurve F durchläuft. r2 mufs
ersichtlich durch die Berührungspunkte der von P an F gezogenen
Tangenten gehen. Die neue Kurve kann, wenn sie gezeichnet vorliegt, nicht blofs zur Konstruktion der Tangenten an r dienen, sondern ebenfalls zur Bestimmung der Krümmungsmittelpunkte. Werden