Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

694 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
sei, durch den Punkt P(a, b) gehen möge; die Tangente t in diesem
Punkte hat dann die Gleichung
= f(a) + (x-a) f'(a),
wo x und X die laufenden Koordinaten auf der Tangente selbst sind.
Nehmen wir nun an, dafs 7i, die Integralkurve von r, durch P (A, B)
gehe, so wird deren Gleichung lauten
x
Y-B= f (x) dx...... (a)
A
Konstruieren wir jetzt die Integralkurve T der Tangente t unter der
Voraussetzung, dafs sie durch den Punkt Pi gehe, so wird deren
Gleichung X
H -B =f[f(x) + (x-a) f(a)] dx
A
oder H B (x- A) fa) + - A). ()
T ist also eine Parabel. Aus den Gleichungen (a) und (p) ergiebt
sich nun sofort, dafs für den Punkt Pi ist Y= H, =Y' ', Y"= H",
und dies beweist, dafs die Kurven rl und T sich nicht nur in dem
gemeinsamen Punkte A berühren, sondern daselbst eine Berührung
zweiter Ordnung haben. Somit ergiebt sich: Der Tangente t der
Kurve r in irgend einem Punkte P derselben entspricht als Integralkurve eine Parabel T, welche die Integralkurve ri von F in den
dem Punkte 1P entsprechenden Punkte -Pi oskuliert.
278. Eine gewisse Analogie mit den Differenzialkurven bieten
solche Linien, die man aus der Kurve y = f(x) erhält, wenn man y
gleich einer Funktion von f'(x) setzt'). Auf die hauptsächlichsten
derselben soll hingewiesen werden, sowie auf einige neuen Kurven, die
man durch solches Verfahren erhält.
I. Wir betrachten wieder eine Kurve r mit der Gleichung y = f(x),
sowie in ihrer Ebene einen beliebigen festen Punkt K (Taf. XVII,
1) Elementarer, jedoch weniger wichtig und fruchtbar ist das Verfahren,
aus einer Kurve mit der Gleichung y f(x) eine neue y1 = F(f(x)) abzuleiten, wo F eine neue gegebene Funktion ist. Z. B. kann man als neue
Kurve ableiten y-i -=; eine einfache Rechnung zeigt, dafs die beiden
f(x)
Kurven in zwei derselben Ordinate entsprechenden Punkten gleiche Subtangenten
aber von entgegengesetzten Vorzeichen haben (W. Rulf, Ueber eine allgemeine
Eigenschaft der Kurve der reziproken Ordinaten, Archiv der Math. 2. Ser. XIII,
1894; vgl. auch den ~ VI des o. a. Beitrags von J. Sobotka). - Ähnlich kann
man die Kurve y == f(x)2 bilden; die Subtangente in einem beliebigen Punkte
der neuen Kurve ist gleich der Hälfte der Subtangente im entsprechenden Punkte
der gegebenen (W. Rulf, Bemerkung zu den aus einer Curve abgeleiteten Curven,
Das.). Im allgemeinen Falle hat man, wenn S und S1 die Subtangenten in entsprechenden Punkten der beiden Kurven y = f(x), y, = F(f(x)) sind,
S: S= F(f): fF' (f).