Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

10. Kapitel: Differenzial- u. Integralkurven; ähnliche Ableitungsgesetze. 691
ausgedrückt. Ist r algebraisch, so wird es auch r' sein, und es entsteht dann die Frage, welche Beziehung zwischen den Ordnungen der
beiden Kurven bestehe. Nehmen wir daher an, dafs f(x, y) 0 die
Gleichung von r in rechtwinkligen kartesischen Koordinaten sei, so
hat man, um den Punkt P'(x', y') von F' zu finden, der dem Punkte
P(x, y) entspricht, den Schnittpunkt der Tangente in P an r mit
der in 0 zu OP errichteten Senkrechten aufzusuchen. Nun haben
die genannten Geraden, wenn X, Y die laufenden Koordinaten sind,
bezüglich die Gleichungen
of Oaf af=x y X+Yy=0
Xa -- Y XF Y - - x- X - - y = '
infolgedessen ist
af af af af.~ 2 -- Xy (5)
x = f y f y X *f 3f
X - + y X + Y
ax -y y x - - y -
Diese Formeln liefern für jedes Wertepaar x, y, das der Gleichung (4)
genügt, die Koordinaten des entsprechenden Punktes x, y'. Um die
Ordnung von r' zu finden, müssen wir aufsuchen, wie viele ihrer
Punkte sich auf der beliebigen Geraden r
Ax + By + C= 0
befinden. Es mufs dann auch
Ax'+ By' + C 0
sein, oder wegen Gleichung (5)
(Ay- B)(S af -af af af
(Äy -Bx)x- y) + C(. + y )==o 0
Nun stellt diese Gleichung im allgemeinen eine Kurve von der Ordnung n + 1 dar, welche die Kurve nter Ordnung f(x, y) = 0 in denjenigen Punkten P schneidet, deren entsprechende Punkte P' auf der
Geraden r liegen; also: Der Ort der Endpunkte der Polarsubnormalen
einer Kurve nter Ordnung ist im allgemeinen von der Ordnung
n(n~ +1).l) Jeder p-fache Punkt vermindert diese Zahl im allgemeinen um p(p-1) Einheiten2); für eine rationale Kurve nter Ordnung reduziert sie sich daher auf n(n + 1) - (n - 1)(n - 2) = 2 (2n - 1).
1) Z. B. für einen Kegelschnitt ist sie eine Kurve sechster Ordnung; vgl.
Schlömilch, a. a. 0. S. 124.
2) Als Kontrolle betrachte man eine Kurve r von der Ordnung n, die aus
zwei Kurven rP,,F von den Ordnungen n1 bezw. n2 zusammengesetzt ist. Der
Ort der Endpunkte der Polarsubnormalen von P besteht alsdann aus den beiden
rl und /, entsprechenden Orten, ist daher von der Ordnung n1 (n1 + 1) + n2 (n2 + )-).
Diese Zahl mufs man auch erhalten, wenn man den obigen Satz auf r, welches
die Ordnung n, -+n. hat, anwendet, als (n l+ n2)(n l+n2 )- 2nln 2; dies ist
aber gleich ni (n1 + 1)+n2 (n2 1), wie eben gefunden.
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