Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

688 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
Taylorl) behandelt, und mit Benutzung der Björling'schen Methoden
von A. T. Ljungh2) vollständig gelöst.
Der Begriff der isoptischen Kurve läfst sich verallgemeinern:
man kann den Ort der Scheitel eines Winkels von konstanter Gröfse
betrachten, dessen Schenkel fortwährend zwei gegebene Kurven r', r"
berühren3). Wenn diese algebraisch sind, so ist es auch die resultierende Kurve und man kann auch ihre Charakteristiken erhalten,
indem man die Resultate für die Plücker'schen Zahlen der isoptischen
einer Kurve in Anwendung bringt. Wenn man nämlich die beiden
Kurven r' und r" als eine einzige r betrachtet, so wird die isoptische von r bestehen 1) aus der von r', 2) aus der von r", 3) aus
der von r' und r"; da man nun die Charakteristiken von r', r", r
kennt und die der Kurven 1) und 2) bestimmen kann, so lassen sich
die von 3) daraus ableiten. - Wenn der konstante Winkel ein rechter
ist, so wird die erhaltene Kurve auch die Fufspunktkurve der
einen Kurve in Bezug auf die andere genannt4). Reduziert sich
nämlich die eine der beiden Kurven auf einen Punkt, so haben wir
wieder die Fufspunktkurve der anderen im gewöhnlichen Sinne; damit
ist eine Beziehung zwischen den orthoptischen und den Fufspunktkurven hergestellt.
Das Problem der orthoptischen Kurve zweier Kurven (sowie
das der isoptischen) läfst sich ebenfalls umkehren. Sind nämlich
zwei Kurven r' und r gegeben, so kann man eine dritte Kurve r"
aufsuchen, derart, dafs r die orthoptische der beiden Kurven r' und
r" wird. r" ist dann offenbar die Enveloppe des zweiten Schenkels
des rechten Winkels, dessen erster Schenkel fortwährend die Kurve
r' berührt und dessen Scheitel r durchläuft. Die Aufsuchung von
r" bietet also keine theoretischen Schwierigkeiten. Wenden wir dies
an auf den Fall, dafs r' die logarithmische Kurve mit der Gleichung
- log -
a a
sei und die Kurve r ihre Asymptote x=05). Da nun
Y+a-a log - X= O
a x
die allgemeine Gleichung der Tangente ist, so mufs die gesuchte
1) S. die in Note 2 S. 686 eitierten Schriften.
2) S. die Diss. Ueber isoptische und orthoptische Kurven (Lund 1895), wo
die allgemeinen Resultate auf einige bemerkenswerte Kurvenfamilien, wie die
Parabeln höherer Ordnung, die Epicykloiden etc. angewandt sind.
3) H. G. S. Schotten, Ueber Fufspunktskurven (Progr. Hersfeld, 1887).Auf derartige Kurven bezieht sich die Question 187, gestellt von Chasles in den
Nouv. Ann.
4) Habich, Annali di Matern. 2. Ser. II, 1868-69, S. 141.
5) Die folgenden Sätze wurden dem Verfasser brieflich mitgeteilt von
J. Finsterbusch in Zwickau.