Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Achtes Kapitel: Fufspunktkurven, Gegenfufspunktkurven u. Podoiden. 683
durch die unendlich fernen Kreispunkte ginge, die Klasse von 77 auf
2(n - i) - k sinken würde. Wenn z. B. n gerade und i == kwäre, so würde die Klasse von der negativen Fufspnnktkurve -=
sein, was im Falle n 2 offenbar zutrifft.
Es sei U ein unendlich ferner Punkt von 1'2 der nicht mit einem
der Kreispunkte zusammenfällt; das von u auf P U gefällte Lot fällt
dann mit der unendlich fernen Geraden zusammen, daher wird diese
eine Tangente von H, und sie ist dies so oft, als es unendlich ferne
Punkte auf Fr giebt, die nicht Kreispunkte sind. Demnach: Wenn
eine Kurve rF durch jeden der Kreispunkte geht, so hat ihre negative Fufspunktkurve H die unendlich ferne Gerade als (n - 2i)-fache
Tangente. Wenn in diesem Falle P ein k-facher Punkt von r" ist,
so schneidet die Gerade, welche ihn mit einem der Kreispunkte verbindet, aufserdem die Kurve rp in n- k-i Punkten Q; die von Q
auf PQ gefällten Lote fallen bekanntlich mit diesen Geraden selbst
zusammen; daher: Die negative Fufspunktkurve eines k-fachen
Punktes P einer Kurve, die i-mal durch jeden der beiden unendlich
fernen Kreispunkte geht, hat die Geraden, welche P mit den Kreispunkten verbinden, als (n-k -i)-fache Tangenten.
Wir beschreiben einen beliebigen Kreis über OP als Durchmesser,
und betrachten zwei seiner Schnittpunkte M1 und fM2 mit der gegebenen Kurve. PM l- t1 und _PM2 - t werden dann Tangenten
der negativen Fufspunktkurve von 0 sein. Stellen wir uns nun
vor, dafs dieser Kreis sich in der Weise verschiebe, dafs M1 und M2
zusammenrücken; alsdann kommt t2 der t1 unendlich nahe, und der
Punkt P, in welchem sich t1 und t2 schneiden, strebt dahin, mit dem
Berührungspunkte der Geraden t, mit ihrer eigenen Eveloppe zusammenzufallen, d. h. mit einem Punkte von /H. Greifen wir daher
auf rF beliebig den Punkt M heraus und beschreiben den Kreis, der
durch 0 geht und rF in M berührt; der zweite Endpunkt des durch
0 gehenden Durchmessers ist ein Punkt der negativen Fufspunktkurve von Fr in Bezug auf 0, und die Gerade PMJ ist die zugehörige
Tangente. Damit haben wir eine Punktkonstruktion für die negative
Fufspunktkurve H.
Es sei t eine der von 0 an 7F gezogenen Tangenten, T der zugehörige Berührungspunkt; die in T zu t errichtete Senkrechte n
wird dann eine Tangente von H1 sein. Konstruieren wir jetzt den
Berührungspunkt nach dem oben angegebenen Verfahren, so sehen
wir, dafs er ins Unendliche fällt. Die negative Fufspunktkurve hat
also so viele Asymptoten, als es Tangenten vom Pole 0 an die
Fundamentalkurve giebt; sie entsprechen den Normalen der Fundamentalkurve selbst. Ist rF eine allgemeine Kurve ihrer Ordnung,
und der Punkt 0 gehört dieser nicht an, so ist die Zahl der Asymptoten