Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

670 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
kaustika eine Kardioide, welcher Umstand schon dem Joh. Bernoulli
bekannt war.
Der Satz von Gergonne, der auf die Existenz der sekundären
Kaustiken hinweist, bedeutet einen Höhepunkt in der Geschichte der
Theorie der Brennlinien; die späteren Arbeiten haben zu den bekannten Resultaten nur weniges von Bedeutung hinzugefügt: einige
wandten auf diese Kurven die Methoden der natürlichen Koordinaten
an1), andere suchten den Zusammenhang mit einer anderen Klasse
von Kurven, nämlich den Fufspunktkurven2), wieder andere stellten
Beziehungen auf zwischen den Kaustiken und der Theorie der Bewegungen3), noch andere beschäftigten sich mit den Sätzen über ihre
Rektifikation4). Viel zahlreicher jedoch sind die Schriften, die sich
mit der Bestimmung und Untersuchung der Brennlinien spezieller
Kurven befafst haben: unter ihnen ragt die Memoir upon Caustics
von A. Cayley hervor (Phil. Trans. CXLVII, 1857 und CXVII 1867),
worin der Fall, dafs die betrachtete Kurve eine Gerade oder ein Kreis
sei, erschöpfend behandelt ist. Nicht zu vergessen seien auch die
Arbeiten, in denen die Katakaustika einer Kardioide bestimmt wird5),
sowie der Beweis, dafs alle Kurven, welche eine Polargleichung von
der Form an n (cos ) 1
cn _ Q (cos S G)haben, zur Katakaustika eine Kurve von folgender Gleichung haben6)
Q a cos- pco sin qc.
Nennenswert sind auch die Arbeiten G. F. Steiner's7), die sich die
Bestimmung der Plücker'schen Charakteristiken der Katakaustiken
einer algebraischen Kurve, deren Charakteristiken bekannt sind, zur
Aufgabe gestellt haben; sich stützend auf die fundamentalen Betrachtungen Björling's in der Arbeit Ueber entsprechende Singularitäten in algebraischen ebenen Curven (Nova Acta Reg. Soc. Upsal. 1879)
gelangt der Verfasser zur Lösung dieses Problemes, nicht ohne bemerkenswerte Benutzung von Resultaten, die an speziellen Kurven
1) Habich, Sur un Systeme particulier de coordonndes. Application aux
caustiques planes (Ann. di Mat. 2. Ser. II, 1868-69).
2) Vgl. Em. Weyr, Ueber die Identität der Brennlinien mit den Evoluten der
Fufspunktcurven (Zeitschrift f. Math. XIV, 1869).
3) G. Koenigs, Lecons de cinematique (Paris 1897) S. 166.
4) A. Genocchi, Intorno alla rettificazione e alle proprietä delle caustiche
secondarie (Annali di Matem. VI, 1864).
5) A. H. Curtis, Geometrical proof, that the caustic by reflexion of a cardioid produced by rays proceeding from its cusp is an epicycloid (The Messenger,
2. Ser. XII, 1882).
6) Lord M'Laren, On the reflexion-caustics of symetrical curves (Edinburgh
Proc. XVII, 1889).
7) Ueber die Katakaustiken algebraischer ebener Kurven (Dissert. Lund, 1896).