Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Siebentes Kapitel: Die Brennlinien. 665
Ist nun R der Krümmungsradius und r der Reflexionswinkel, so hat
man 3
/~ --- ~ COS V -- -
R =, cos r 1
dg2.... 1 + (d-) ]
und daher 1
T= 2 Rc/cos...... (5)
Dies ist die angekündigte Beziehung; sie sagt aus: Ist if1(g, i) ein
Punkt der spiegelnden Kurve und C das zugehörige Kriimmungscentrum, so findet man den entsprechenden Punkt P(x, y) der
Brennlinie für parallele Strahlen, indem man dem Iittelpunkt der
Strecke MC auf den reflektierten Strahl projiziert.
Wenden wir die erhaltenen Resultate auf spezielle Kurven an,
so erhalten wir interessante Resultate, wie folgende Beispiele zeigen.
a) Die spiegelnde Kurve sei ein Kreis -2 +- -2 = a2. Betrachten
wir (Taf. XVI, Fig. 137) einen beliebigen in M parallel mit der y-Axe
einfallenden Strahl s, der die x-Axe in N schneidet und den entsprechenden reflektierten r. Projizieren wir nun die Mitte Q des
Radius OM auf r als P, so ist P ein Punkt der Katakaustika, ist
nun H die Mitte der Strecke MN, so ist offenbar MH -MP,
folglich läfst sich die Katakaustika des Kreises punktweise konstruieren, wenn man auf jedem reflektierten Strahl vom Einfallspunkte
aus ein Viertel der auf dem einfallenden Strahle abgeschnittenen Kreissehne abträgt. - Die analytische Darstellung der fraglichen Kurve
erhält man leicht, indem man entweder obige Konstruktion in Formeln
kleidet, oder die Gleichung (4) benutzt1). Setzt man - a cos,
= a sin cp, so findet man auf die eine oder andere Weise
x = (3 cos cp + cos 3 p), y = (3 sin p + sin 3 Y),
und diese Gleichungen zeigen: Die Katakaustika für parallele Strahlen
eines Kreises mit dem Radius a ist eine gemeine Epicykloide, die
entsteht, wenn ein Kreis mit dem Radius T auf einem andern mit
dem Radius 2- rollt2).
1) Die Tangentialgleichung der fraglichen Brennlinie findet sich bei J. B o o th,
A treatise on some new geometrical methods I. (London 1873) Cap. XIII.
2) Diese elegante Folgerung, sowie die vorige Punktkonstruktion der Kaustika wurde von de La Hire entdeckt und in der Abh. Examen de la courbe
formee par les rayons r6flechis dans un quart de cercle (Mem. de l'Acad. des
Sciences, depuis 1666 jusqu'ä 1699, Paris 1730, S. 294-310) dargelegt. Daselbst
ist übrigens irrtümlich folgende, von Tschirnhausen angegebene Konstruktion
bewiesen: Man beschreibe einen Kreis, der den zu den Lichtstrahlen senkrechten
Radius 0 A des gegebenen Kreises zum Durchmesser hat, nehme auf jeder Ordinate die Mittelpunkte D des Segmentes BC, das von beiden Kreisen begrenzt
wird; diese bilden die Katakaustika des gegebenen Kreises,