Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

662 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
Siebentes Kapitel.
Die Brennlinien ).
267. In einer Ebene sei ein einfach unendliches System S von
leuchtenden Strahlen gegeben, die ein bestimmtes Gesetz befolgen:
wir können sie entweder als parallel, oder in einen Punkt zusammenlaufend, oder allgemeiner als eine gegebene Linie A berührend, oder
als zu einer anderen A' (der Evolvente von A) senkrecht stehend annehmen. Es sei dann in derselben Ebene eine Kurve r gegeben, die
entweder als spiegelnd oder Grenze eines lichtbrechenden Mediums
angesehen werde. Dann verwandeln sich die Strahlen des Systems S
in die eines anderen S', die dann ihrerseits eine andere Kurve B
tangieren bezw. zu einer anderen B' (der Evolvente von B) normal
sind. B heifst dann die Brennlinie (Kaustika) von r und genauer - um eine übliche, von Johann Bernoulli2) vorgeschlagene
Benennung zu benutzen - die Katakaustika, wenn r spiegelnd,
Diakaustika, wenn F als brechende Kurve gedacht wird3). Der
1) Ausführliche bibliographische Notizen über diese Kurven finden sich in
der Dissertatio mzathemiatica de invenienda aequatione causticarum (Lugd. Batav.
1837) von C. J. Matthes; aufserdem in einigen Artikeln als Beantwortung einer
von A. Cornu im Intermediaire gestellten Frage (II, 1895, S. 208 u. 321; VI,
1899, S. 101).
2) S. die Abh. Lineae cycloidales, evolutae, antevolutae, causticae, anticausticae, pericasticace (Acta erud. Mai 1692; Joh. Bernoulli Opera I, S. 491-802).
3) Aufser diesen Kurven hat Bernoulli noch zwei andere Kurven betrachtet,
deren Definition folgende ist: ",Wenn alle Strahlen eines Systems 5 durch einen
Punkt F gehen, und es ist FMI einer derselben, MP der von der Kurve 1r
reflektierte Strahl, wobei M der Einfallspunkt und P der Berührungspunkt mit
der Kaustika ist; ist ferner P1 der zu P symmetrische Punkt auf dem austretenden Strahle, und P2 der Punkt der Einfallsstrahles, der von M denselben
Abstand hat, wie P, so heifst der Ort der Punkte P1 die Antikaustika, der
von P, die Perikaustika von r." Heutzutage giebt man jedoch den Namen
Antikaustika einer Kurve, deren die Kaustika die gegebene Kurve ist in Bezug
auf ein gegebenes Strahlensystem (s. z. B. Laguerre, Sur les anticaustiques
par reflexion de la parabole les rayons incidents etant paralleles, Nouv. Ann. 3e Ser.
II, 1883). Diese Bemerkung steht in Zusammenhang mit der anderen, dafs man
jede beliebige Kurve (ausgenommen die Gerade) ansehen kann als durch Reflexion oder Refraktion aus einer anderen geeignet gewählten entstanden; die
Aufsuchung der letzteren bildet das,inverse Problem der Kaustiken": diesem
ist eine Abhandlung gewidmet von G. W. Strauch, Das umgekehrte Problem der
Brennlinien (Wiener Denkschriften, XX, 1859). - Die oben definierten Kurven
sind nicht die einzigen, die ihre Entstehung der geometrischen Optik verdanken;
wir führen noch die von Leibniz als Acampte, Aclaste und Synacampte
bezeichneten an (vgl. den Anhang zu einem Briefe an Joh. Bernoulli vom 7. Jan.
1764, Leibniz, ed. Gerhardt, III, S. 734) sowie die von Mairan betrachteten
(Quatrieme partie des Recherches physico-mathematiques sur la reflexion des corps,
Mem. de Paris, 1740) und von Fontenelle angegebenen (Histoire de V'Acad.