Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Viertes Kapitel: Verallgemeinerungen der Evoluten u. Evolventen. 637
man nehme einen beliebigen Punkt M von r, ziehe die zugehörige
Tangente t und bestimme auf derselben den Punkt 1Mo so, dafs
-a- O -— = - wird. Jenachdem nun y positiv oder negativ, wird Mo
auf den positiven oder negativen Teil von t zu liegen kommen. Der
Ort ro der Punkte Mi ist dann eine gewöhnliche (oder vollkommene)
Evolvente, wenn ==1, jedoch eine unvollkommene Evolvente,
wenn t1=j=l, genauer eine verlängerte, wenn |1i/ > 1, eine verkürzte, wenn ii < 1.
Nehmen wir, wie vorhin, die Koordinaten x, y des Punktes M
als Funktionen des Bogens s gegeben an, so werden die*von Moi, o, Yo
offenbar durch folgende Formeln bestimmt werden
+ S ds xy + s dy (19)
Zo -(-'d - ~s, =Yo-j- - s ' ~~~~ (19)
Wir können nun eine elegante Konstruktion der Normalen in Mo zu
7o herleiten; beachten wir nämlich, dafs die Normalen n und qn in
M und M1 von F und Fo bezw. die Gleichungen haben
(X-x)^+(Y-y)=0....(20)
(X x) ds + (Y _) dy - 0.(20)
d s dsJ t1 + y s ds2)
+(Z y- x - r' ) (1 + i ts + 2 * * (231)
+ - - Z1 ( 1+ d"?) ~ = (21)
und kombinieren diese miteinander, so erhalten wir die Koordinaten
X, Y des Punktes N, in welchem die Normalen sich schneiden. Nun
ergiebt sich aus (20) und (21)
(X x) dSx + (Y- y ds( = y
und diese Gleichung im Verein mit (19) und (20) führt zu
(X - x) = (l + )Rdy (Y y)=- (l + )Rx;
folglich ist (X-x)2 + ( y) = — MN= (1 + )R.
Demnach: Ist das Krümmungscentrum C für den Punkt M der
MN No
Kurve r gezeichnet, so hat man MC =1 —t und also l 0.
Vermittelst dieser Relation kann, wenn man für die Kurve r alle
Konstruktionen auszuführen weifs, der Punkt N bestimmt werden,
und somit auch die Normale no für Fo. - Beispiels halber sei r
$~ $ S~8
der Kreis x2+y2=r2; da x r cos, y=r sin-, so ergeben die
Gleichungen (19)
s. s
x= r cos - - lssm, Yn - r sin:n - + s cos-;
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