Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

636 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
Evolutoiden des Winkels A von C. Die Konstante a bestimmt sich,
wenn man den Punkt der Kurve C kennt, von welchem die Kurve r
ausgeht, es ist also der Wert von s, welcher - = 0 macht.
Nehmen wir z. B. als Kurve C den Kreis x2 + y2 = 1, so ist,
R = 1, und die Gleichungen (15) und (18) ergeben
= coss - sins (r + ae ), - sins + cos s( + ae)
und stellen dann alle inversen Evolutoiden des Winkels X von dem
betrachteten Kreise dar.
Es möge bemerkt werden, dafs die vorigen Formeln keine Gültigkeit haben für r=; in diesem Falle ist (14) durch folgende
Relation zu ersetzen
dx d, dy drl
dds ds ds ds i
setzen wir diesen Wert in (16) ein, erhalten wir 1 — -= 0 daher
== a - s (wo a die Integrationskonstante ist), und somit
=x + (a -S) d y + (a — s) isy'
Im speziellen erhalten wir für den Kreis x2 + y2= 1
= cos s - ( - s) sin s, y = sin s + (a - s) cos s,
welches die bekannten Gleichungen der Kreisevolvente sind (vgl.
Nr. 209).
Bevor wir weiter gehen, wollen wir noch bemerken, dafs E. Beltrami das Wort Evolutoiden in einem anderen, noch weiteren Sinne
gebraucht'). Er nennt Evolutoiden (Sviluppoide) einer Linie eine
andere Kurve von der Art, dafs jede ihrer Tangenten von der ersteren
Linie unter einem Winkel geschnitten wird, der eine gegebene
Funktion der Koordinaten des Schnittpunktes ist. Ist jener Winkel
konstant, so haben wir wieder die gewöhnlichen Evolutoiden.
258. II. T. Olivier hat gewisse spezielle ebene Linien betrachtet2), die er unvollkommene Evolventen des Kreises nannte,
und für welche er eine stereometrische Konstruktion der Tangente
angegeben hat. Die von ihm vorgeschlagene Definition läfst sich auf
beliebige ebene Kurven ausdehnen und führt zu einer neuen Verallgemeinerung der Evolventen3). Es sei r eine gegebene Kurve, auf
der ein positiver Sinn festgelegt ist, 0 ein fester Punkt derselben
und p eine reelle, positive oder negative, ebenfalls gegebene Zahl;
1) Sulla teoria delle sviluppoidi e delle sviluppanti (Annali di Matem. IV,
1861).
2) Developpements de geometrie descriptive (Paris 1843).
3) D. Levi, Stlle evolventi allungate ed accorciate delle linee piane (Atti
dell' Acc. di Torino, IV, 1868-69).