Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

40 II. Abschnitt: Kurven dritter Ordnung.
25. Da die Cissoide eine rationale Kurve ist, so wird man die
kartesischen Koordinaten ihrer Punkte durch rationale Funktionen eines
Parameters darstellen können. In der That, kombiniert man (2) mit
der Gleichung x y, so erhält man
2r 2r 2 l)
X 2 7 _Y= _ (2}e).t... (3)
Daraus folgt als Bedingung der Kollinearität für die 3 Punkte (a), (ß), (y)
+ß+y=o..... (4)
und als Bedingung der Koncyklität (des auf einem KIreise Liegens)
für die vier Punkte (), (ß3), (y), (6)
+ß+y+ =....... (5)
Die Sehne (a) (ß) hat demnach die Gleichung
(i + + aß + ß2)x - (cc + ß)y -2r.. (6)
im speziellen Falle, für die Tangente im Punkte (a) ist die Gleichung
(1 + 3c2) x - 2 y- 2r..... (7)
Folglich ist die Gleichung der entsprechenden Normalen
2c4x +(1 - 3ca2) a-2r (1 + -Cr ) 0... (8)
Aus (7) kann man eine Konstruktion der Tangente an die Cissoide
ableiten; sie liefert niimlich als Ausdruck für die Subtangente
4 -2_ x (2- - x)
und daher kann man die Subtangente selbst durch Konstruktion einer
vierten Proportionale erhalten2). Sucht man hingegen die Umhüllungskurve der durch (8) dargestellten Geraden, so findet man folgende
Gleichung (in welcher a = 2r)
32 a 512
Y - - y2 a2 + -2- ax += 0,
welche die Evolute der Cissoide darstellt3). Schlielslich, sucht man
den Pol der Geraden (7) in Bezug auf den Kreis x2 + y2 = -B2, so
findet man den Punkt mit den Koordinaten
=R (i + 3) y= _ r,,
1) K. Zahradnik, Theorie der Cissoide auf' Grundlage eines rationalen
Parameters (Prager Ber. 1873).
2) Diese Methode wurde im Grunde von Fermat angegeben als Anwendung
seiner Methode der Maxima und Minima (Oeuvres de Fernamt I S. 159 und III
S. 141); ein anderes Verfahren rührt von Roberval her, s. Observations sur la composition des mouvemennts et sur les touchantes des lignes courbes (Mem. de l'Ac. des
Sciences VI, Paris 1730); ein drittes werden wir in Nr. 29 kennen lernen.
3) Educ. Times, question 2415 (gelöst von Watson und Dale, IX, 1868);
vgl. Salmon-Fiedler, Ebene Kurven S. 92.