Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Viertes Kapitel: Verallgemleinerungen der Evoluten u. Evolventen. 631
Alle Evolutoiden einer Epicykloide sind ihr ähnliche Kurven ).
Wenn =- 1, so stellt (5) eine gemeine Cykloide dar; dann wird
Gleichung (7) Jt + s2 = c2; daher: Alle Evolutoiden einer gemeinen
Cykloide sind ihr gleiche Kurven. - In gleicher Weise läfst sich
zeigen: Alle Pseudocykloiden sind ihren Evolutoiden gerader Ordnung ähnlich.
Wenn in der Gleichung (4') R als Funktion von r (= - + Const.)
gegeben ist, so ist sie eine Gleichung zwischen Ba und Vra also die
natürliche Gleichung von Tr. Wenn man dagegen voraussetzt2), dafs
in ihr R, als Funktion von V, gegeben sei, so stellt sie sich als
eine Differenzialgleichung zwischen R und r dar, durch deren Integration man eine Kurve F erhält, zu welcher r, die Evolutoide des
Winkels a ist, und die man die inverse Evolutoide des Winkels
a in Bezug auf r als Ausgangskurve nennt3); wir wollen diese durch
das Symbol r, bezeichnen. Die Gleichung (1) ist nun eine lineare
Gleichung in lR mit konstanten Koeffizienten, kann daher integriert
werden, und ergiebt:
P= eos — Rae d,...... (8)
cos J a
wo A eine durch die Integration eingeführte Konstante ist; durch
Variation derselben erhalten wir die unendlich vielen inversen Evolutoiden. Aus leicht begreiflichen Gründen ist es vorteilhaft (8) in
etwas anderer Weise zu schreiben, indem man iR, a,;, R, ersetzt
bezw. durch R], ~l, tl, R; dann hat man
tg a1
yieo, acos, c_
Analog wird die allgemeine natürliche Gleichung der Evolutoide F,.a
des Winkels 2 von Vll sein
- o ---- IR e —,tgc.~ *
-rCC xC5= t2 fet tga2. d7
cos 1ra
oder wegen der vorigen Gleichung
-r e - ltga-2.Jd i' R
a1 COS al * OS J a2 et(tga2-t-g(i). J tg d.
Fahren wir in dieser Weise fort, so gelangen wir zu dem Schlusse,
1) S. die Questions 799 u. 800, gestellt von Fouret in den Nouv. Ann.
de Math. und gelöst von Rouquet 1867 und von Fouret 1880.
2) S. die Abh. von Hat on de la Goupilliere, Recherches sur les developpoY'des des diverses ordres (Ann. de la Soc. Sc. de Bruxelles II, 1877).
3) Man könnte sie auch Evolventoide nennen.