Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

628 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
Combinieren wir (1) und (2), so bekommen wir
l de 4d,Y
x- = COS2 a a (d a- +
^d2 __ 1.. (3)
1+ d) tg1
\d2i /dre
y_ - CS ---^ os 5t l)
de2
Diese Gleichungen liefern die Koordinaten eines beliebigen Punktes
P(x, y) der Evolutoide Fr ausgedrückt durch die Koordinaten des
entsprechenden Punktes M1f(, ) der Kurve F. Aus ihnen ergiebt
sich nun 3
[1 + (d)]
(x- + (y - )2 = CoS2
de2
ist nun lR der Krümmungsradius von r im Punkte M, so folgt
hieraus, wenn man sich eines bekannten Ausdrucks für R erinnert, dafs
PM = R cos a,
und dies besagt: Ist C das Kriimmungscentrum für den Punkt M
der Kurve r, und fällt man von diesem auf die Gerade, welche die
Kurve r in M unter dem Winkel a schneidet, das Lot, so ist der
Fufspunkt desselben, der Berührungspunkt jener Geraden mit ihrer
eigenen Enveloppe /P,. Dieser Reaumur'sche Satz führt zu einer
einfachen Punktkonstruktion beliebiger Evolutoiden.
256. In der Theorie der Developpoiden findet auch die, von uns
schon bei den Evoluten (Nr. 252) benutzte "magische Gleichung der
Geraden" eine elegante Anwendung1). Nehmen wir nämlich an, dafs
die Kurve F die Enveloppe der ocO Geraden sei, welche bei Variation
von r durch die Gleichung
T - y cos r - x sin r - f(r) = 0
dargestellt werden, so würde die Punktgleichung von r entstehen,
wenn man diese Gleichung mit ihrer Ableitung nach r kombinierte,
also mit T' - -y sinv - x cos - f'() = 0.
Betrachtet man nun die Gleichung
U- T cos a + T' sin a = 0,
so hat man damit die analytische Darstellung der Geraden, die durch
den Berührungspunkt von T = 0 geht, und mit dieser den Winkel ca
1) Mansion, Principes de la theorie des developpoides des courbes planes
(Nouv. Corr. math. V, 1879).