Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

616 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
punkte und k Spitzen, so erleidet die Ordnung ihrer Evolute r1 eine
Verminderung um 6d + 8k Einheiten; also ist
i = — 3n(n- 1)- 6d- 8k.
Ist nun w die Zahl der Wendepunkte von (1), so hat man bekanntlich
w = 3n(n-2)- 6d — k,
daher ist n1 — vw 3n, oder n= 3n-w.
Folglich: Die Ordnung der Evolute einer algebraischen Kurve r ist
im allgemeinen gleich der dreifachen Ordnung vermehrt um die
Zahl der Wendepunkte von FI. Um die Klasse vl der Evolute zu
bestimmen, suchen wir auf, wie viele Normalen der Kurve (1) durch
einen beliebigen Punkt (X, Y) der Ebene gehen, mit anderen Worten,
wie viele (mit diesem Punkte variabele) Lösungen die Gleichungen (1)
und (2) haben. Beachten wir nun, dafs die Gleichung (2) einer Kurve
angehört, die durch jeden Doppelpunkt von (1) geht und bei jeder
Spitze die entsprechende Spitzentangente berührt, so schliefsen wir
alsbald, dafs v = 2-2d -3k;
nun ist bekanntlich v = n (n - 1)- 2d -- 3k,
und daraus folgt v1i = v + n,
folglich: Die Klasse der Evolute einer algebraischen Kurve r ist im
allgemeinen gleich der Summe der Ordnung und Klasse von P. -
Wenn man schliefslich noch beachtet, dafs r und seine Evolute r,
Kurven vom selben Geschlechte sind, so sieht man, dafs man genügend viel Elemente hat, um alle Charakteristiken der Evolute zu
bestimmen.
Modifikationen treten ein, wenn r metrische Besonderheiten oder
höhere Singularitäten besitzt1). Da wir keinen Raum haben, uns mit
diesen Einzelheiten zu befassen, so verweisen wir auf die bezüglichen
Arbeiten von Clebsch2), Cayley3) und Halphen4); es sei bemerkt,
dafs letzterer die Entdeckung machte, dafs, wenigstens von einem gewissen Range an, die Ordnungen und die Klassen der successiven
Evoluten einer algebraischen Kurve zwei arithmetische Progressionen
bilden, welche dieselbe Differenz haben.
Das Verfahren, welches von der Kurve r zu Tr führt, ist von
der Art, wie wir es zu Anfang dieses Abschnittes besprochen haben;
1) Salmon-Fiedler, Höhere ebene Curven, II. Aufl. (Leipzig 1882) S. 119 ff.
2) Ueber die Singularitäten algebraischer Kurven (Crelle's Journ. LXIV, 1864).
3) On the theory of the evolute (Phil. Mag. XXIX, 1865; Mathem. Papers
V, S. 473).
4) S. die letzten beiden Artikel der Memoire sur les points singuliers des
courbes algebriques planes dem Institut de France vorgelegt im April 1874, und
veröffentlicht in den Mem. pres. par divers savants etc. (XXVI, 1879).