Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Erstes Kapitel: Die Methode der Koordinatenverwandlung. 603
k-2
k
acos Sink-c ~(k-3)(k-5)....(k -2r+1) -2r )
1a coss rink- (k-)2)(k- 4)....(_(2r) si 91)
1 L -3)(k-5)....3.1
- (k —2)(k —4). 4. 2 P,, wenn k gerade ism,
k-1
wenn k ungerade.
Die Gleichungen (12) und (13) liefern die gewünschte Darstellung der
Kurve, die für ein gerades k transscendent, für ein ungerades algebraisch ist.
Ähnlich der Gleichung (8), von der wir ausgingen, ist folgende
die durch Umkehrung des Vorzeichens von mn entsteht:
sn- - p- xn........ (14)
Aus ihr folgt r 2 2n 2 ~
y == _ pr-+n m X -- 1
1 dx~\ f m - n /
die Integration wird ausführbar, wenn die Zahlen m und n derart
sind, dafs eine der beiden Gröfsen q - -, oder ' =- eine
ganze Zahl wird; infolgedessen hat man
n = (2q + 1)m, oder n == 2mr,
und die Gleichung (14) nimmt folgende Gestalten an
S2q _ p- x2q+l oder s2r- 1 -1 X2r
die man in die eine zusammenfassen kann
sk= p-1 x+1........ (15)
Aus der Bemerkung, dafs diese aus (11) hervorgeht, wenn man das
Vorzeichen von 7 wechselt, ergiebt sich, dafs für die neuen Kurven
offenbar die Formeln bestehen, die aus (9'), (10') durch denselben
Zeichenwechsel hervorgehen. Es besteht demnach auch eine analoge
analytische Darstellung, wie sie aus (12) und (13) hervorgeht, was
der Leser leicht verifizieren kann. Auch gehört jede Kurve dieser
neuen Art im allgemeinen einem System mit den Charakteristiken
g=-2k, = —2 an. - Vom Werte k= 0 abgesehen (welcher eine
Gerade liefert) ist der kleinste Wert, den man nehmen kann, k 1.
Dann wird (15)
x2 ps, und (7) liefert R — 2 x1/4-2 -durch Elimination von x erhält man
= 2 2)