Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

596 VII. Abschnitt: Abgeleitete Kurven.
so ist die transformierte Kurve eine Integralkurve mit der Differenzialgleichung F(, Ico, dg, Idc, d2Q, Id2c,....) = 0.
Was nun die Bezeichnung der neuen Kurven anbetrifft, so bemerkt
Varignon:,Cette spirale s'appellera parabolique, hyperbolique,
logarithmique, circulaire etc. selon que la courbe generatrice
sera une parabole, une hyperbole, une logarithmique, une
cercle etc." - Durch das obige Verfahren hat er nun folgende Resultate abgeleitet:
1) Aus den Parabeln xm-a=a-l'y (Nr. 116) die Fermat'schen Spiralen (Nr. 185).
2) Aus den Hyperbeln xm. y -am+1 (Nr. 120) die hyperbolischen?aa + 1
Spiralen Q o= 1 -, deren einfachste (die dem Falle m=-1
entspricht) die gemeine hyperbolische Spirale (s. Nr. 189) ist, die
kurz darauf (1710) von Johann Bernoulli unabhängig von Varignon entdeckt wurde.
3) Aus den Parabeln (a + x)- pp"-~ly entstehen die Spiralen
(a + Q)"t- = pl- 1co, die für In = 1 zu Archimedischen (Nr. 182)
und für in 2 zu den parabolischen Spiralen von Bernoulli
(Nr. 186) werden.
4) Aus dem Kreise x2 + y2 = 2rx die Spirale 2 + 12co = 2rQ.
5) Aus der log. Kurve x- ey (Nr. 224) die log. Spirale =e -
(Nr. 191), von der Varignon als einer zu seiner Zeit sehr bekannten Kurve spricht.
6) Hingegen ergiebt sich aus der logarithmischen Kurve y-'_ = ex
die Varignon'sche logarithmische Spirale mit der Gleichung
G)o-e h 1).
xY2 y2
Wir können hier noch hinzufügen: Aus der Ellipse - - f 1
2 1ö2 a b2
wird die Spirale -2+ - = 1, die je nach dem Werte von 1 ganz
verschiedene Gestalt hat; für I > - ist sie lemniskatenähnlich, für
1 = b - ähnelt sie der auf Taf. XI, Fig. 76 dargestellten Rhodonee u. s. w.2) - Aus den trigonometrischen Kurven y = a tg x und
y -a sin versx entstehen die sog. trigonometrischen Spiralen
Q = a tg c und Q == a sin vers o,
die algebraische Kurven vierter Ordnung sind (vgl. S. 182); auf diese
bei den sowie auf fünf andere, weniger interessante, stiefs T. li vier3). -
1) Vgl. T. Olivier, Cours de geomdtrie descriptive (2. Aufl. Paris 1854) S. 307.
2) Eine Bemerkung des Übersetzers F. Schütte.
3) 0. a. Cours de geom. S. 293.