Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Erstes Kapitel: Die Methode der Koordinatenverwandlung. 595
wenden und mit dem Studium der so erhaltenen neuen Kurven ein -
soweit uns bekannt - noch völlig unerforschtes Gebiet betreten.
243. Eine zweite derartige Koordinatenwandlung, deren Grundgedanke von Varignonl) herrührt, liefert gleichfalls zahllose neue
Kurven. Diesem Geometer folgend betrachten wir eine beliebige
Kurve F, die erzeugende Kurve (courbe generatrice), die in kartesischen Koordinaten durch die Gleichung f(x, y)= 0 dargestellt
wird, sowie einen Kreis IK mit dem Mittelpunkte 0 und dem Radius a,
den Verwandlungskreis (cercle de revolution). Es sei PM (Taf.
XVI, Fig. 131) die Ordinate eines beliebigen Punktes P von r und
sei M P' der Bogen eines Kreises um 0 mit dem Radius OM derart,
dafs, wenn A und L die Endpunkte der durch M und P' gezogenen
Radien des Verwandlungskreises K sind, die Proportion besteht
2av: arcAL = 2z1: PM,
wo 2fz1 eine gegebene Länge bedeutet. Sind nun x und y die kartesischen Koordinaten für P, 9 und co die Polarkoordinaten von P,
so wird die obige Proportion zu
2ra: ao- = 21c: y.
Daher bestehen zwischen den Koordinaten der beiden Punkte P und
P' die Beziehungen x -, y= 1,
in denen der Radius des Verwandlungskreises überhaupt nicht mehr
auftritt. Infolgedessen wird, wenn der Punkt P die Kurve r, f(x, y)= 0
durchläuft, der Punkt P' die Kurve durchlaufen, deren Polargleichung
lautet f(Q, ) = 0........ (2)
Damit ist eine einfache Methode gegeben jeder, durch eine kartesische
Gleichung dargestellten Kurve eine andere in Polarkoordinaten nachzubilden. Da man auch 1 = 1 setzen kann, so besteht das Verfahren
in seiner einfachsten Form darin, in der Kurvengleichung die Koordinaten der einen Art mit denen der anderen zu vertauschen.
Bei diesem Verfahren kann man auch aus Eigenschaften der Originalkurve solche der abgeleiteten erhalten: Geht z. B. erstere durch den
Koordinatenanfang, so wird letztere durch den Pol gehen; hat jene
die y-Axe zur Asymptote, so hat diese den Pol als asymptotischen
Punkt; u. s. w. Wenn die ursprüngliche Kurve dagegen, statt durch eine
Gleichung in endlichen Ausdrücken, durch eine Differenzialgleichung
bestimmt ist, F d d 2 2 d o
bestimmt ist, E'(x, y, dx, dy, d2x, d2y,..) -= 0,
1) S. die ausführliche Abh. Nouvelle formation de spirales, beaucoup plus
differentes entre elles de ce qu'on peut inaginer d'autres courbes quelconques ä
l'infini; avec les touchantes, les quadratures, les deroulements, et la longueur de
quelques arcs de ces spirales, qu'on donne seulement ici pour exemple de cette formation geneqrale (Mem. de Paris, Annee MDCCIV, Paris 1722).
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