Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Erstes Kapitel: Die Methode der Koordinatenverwandlung. 593
Alle diese Kurven IF+n heifsen im allgemeinen die von Fo ab geleiteten Kurven, und zwar positive oder negative, je nach dem
Vorzeichen des Index. Ein höchst einfaches Beispiel, das wir hier
jedoch nur flüchtig erwähnen wollen, besteht darin, dafs man jedem
Punkte einer Kurve den Endpunkt der zugehörigen Polarsubnormale
entsprechen läfst. Für jede von diesen Ableitungskonstruktionen
bietet sich nun die wichtige Frage dar, ob die entstehende Kurvenreihe unbegrenzt oder in sich zurücklaufend ist, und wenn das letztere
nicht im allgemeinen der Fall ist, wie man die Kurve Co zu wählen
hat, damit eine bestimmte abgeleitete i+n mit der Ausgangskurve
zusammenfalle. Ein grofser Teil der Ausführungen dieses Abschnittes
wird den wichtigen Folgerungen gewidmet sein, die sich aus Betrachtungen obiger Art ergeben1).
Zuvor müssen wir jedoch auf ein, von dem soeben geschilderten
ganz verschiedenes Verfahren, das wesentlich analytischer Natur ist,
eingehen, das zur Entdeckung vieler neuen Kurven geführt hat und
noch führen kann: es ist die Methode der Koordinatenverwand1 lng. Diese besteht darin, dafs wir die Funktion, durch welche
die Koordinaten des Kurvenpunktes oder der Tangente mit einander
verknüpft sind, beibehalten, dagegen die Koordinaten selbst durch
die eines anderen, zu dem ersteren völlig heterogenen Koordinatensystems ersetzen.
Als eine Anwendung dieser Methode können wir das unseren
Lesern wohlbekannte Verfahren anführen, durch welches man, von
einer Kurve als Ort von Punkten betrachtet, zu der als Enveloppe
von Geraden betrachteten Kurve übergeht. Man wandelt also die
Punktgleichung f(x, y) = 0 in die Liniengleichung
f(,)=......... (1)
um, wo man die Linienkoordinaten u, v entweder als Plücker'sche
Koordinaten, oder, was anschaulicher und bequemer ist, als UnverzagtSchwer i n gsche Linienkoordinaten, die auch zu den kartesischen dual
1) Aus unserer Betrachtung haben wir die Hesse'sche, S t einer'sche Kurve
u. s.w. ausgeschlossen, da ihre Untersuchung der allgemeinen Theorie der algebraischen Kurven angehört. Gleiches gilt für den Ort der Centren der Kegelschnitte, die mit einer gegebenen Kurve eine Berührung fünfter Ordnung haben; es
ist die sogenannte Abweichungs-(Aberrations-)Kurve. Wenn die gegebene
Kurve algebraisch ist, so ist es auch die Abweichungskurve; ihre Charakteristiken wurden von W. Bouwmann in der Abh. Die Plückerschen Zahlen der
Abweichungskurve (Math. Ann. XLIX, 1897) bestimmt. Es möge bemerkt werden,
dafs der Name Aberrationskurve in der Astronomie der scheinbaren Bahn
eines festen Körpers gegeben wurde, der von einem nach bestimmten Gesetzen
sich bewegenden Punkte aus beobachtet wird (Santini, Elementi di astronomia II, S. 132; G. Sacchi, Sulla geometria analitica delle linee piane, Pavia
1854, S. 103).
L o r ia, Ebene Kurven. 38