Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Zweiundzwanzigstes Kapitel: Die Kettenlinien. 581
Ferner ist ds 1
dx x
COS -
a
demnach, wenn die Bogen vom Koordinatenanfang an gerechnet werden
s =alog tg ( ).... (19)
Aufserdem findet man leicht als Ausdruck für den Krümmungsradius
R aZ........ (20)
x
COS -
a
Kombinieren wir dies mit (18), so erhalten wir 1R cos r=a, was
besagt: Bei der Kettenlinie gleichen Widerstandes ist die Projektion
des Krümmungsradius auf die Normale im Anfangspunkte konstant;
daraus ergiebt sich eine Konstruktion des Krümmungscentrums. Die
Gleichung (19) liefert ferner
s s
s - 2
eae a _
a
daher ist wegen Gleichung (20)
RB= _ (ea+e a ),. 1. (21)
oder, wenn man lieber will,
R-=a o,.... (21')
welches die natürliche Gleichung der Kettenlinie gleichen Widerstandes ist; sie zeigt eine evidente Analogie mit der kartesischen
Gleichung der gewöhnlichen Kettenlinie; daraus läfst sich dann ableiten: Weinn eine Kettenlinie gleichen Widerstandes auf einer Geraden rollt, so ist der Ort der Krümmungsmittelpunkte für die successiven Berührungspunkte eine gemeine Kettenlinie.
Die Betrachtung der Gleichung (21) führt leicht auch zu den allgemeineren, durch die Gleichung
R=- - +e ). (22)
dargestellten Kurven, wo k eine beliebige ganze Zahl bedeutet2). Sie
erfreuen sich ähnlicher geometrischen Eigenschaften, wie die Kettenlinien gleichen Widerstandes. Um dies zu zeigen, wollen wir mit eo
den Winkel der Tangente mit einer festen Geraden bezeichnen; dann
1) G. M. Minchin, Treatise on Statics (Oxford 1872).
2) Cifarelli, Sopra una classe di curve intrinsecamente analoghe alla catenaria di eguale resistenza (Giorn. di Matem. XXXVI, 1898).