Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

568 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Normalen der beiden Kurven F, E konstruieren kann. Im speziellen
ergiebt sich aus ihm: Um das Krimmungscentrum für einen beliebigen Punkt M1 der gewöhnlichen Traktrix, die als Basis die
Gerade Ox hat, zu konstruieren, hat man den Schnittpunkt der
Normalen in M zur Kurve mit der zur Basis im Treffpunkt der
Tangente errichteten Senkrechten aufzusuchen. Ähnlich hat man:
Um das Krümmungscentrum für den Punkt M einer Traktrix zu
finden, die als Basis einen Kreis hat, hat man den Schnittpunkt der
Normalen in M1 mit demjenigen Radius des Kreises aufzufinden, der
durch den dem Punkte M entsprechenden Punkt der Peripherie geht.
Umgekehrt aber: Ist die Basiskurve E gegeben, so erfordert
die Auffindung der Traktrix r im allgemeinen die Integration von
Differenzialgleichungen und wenigstens Quadraturen. Die bezüglichen
Rechnungen können vollständig ausgeführt werden, nicht nur, wenn E
eine Gerade ist (vgl. oben), sondern auch wenn sie ein Kreis ist');
und dies soll,im folgenden bewiesen werden.
232. Die Basiskurve sei ein Kreis mit dem Mittelpunkte O und
dem Radius a, und l sei die konstante Länge. Die Koordinaten eines
beliebigen Punktes M der Traktrix wollen wir mit x, y bezeichnen
(Taf. XVI, Fig. 128) und mit s den Bogen der Traktrix. Wir setzen
nun zur Abkürzung
2 2 2 dy, ds
da n d,- d =s; daher ist 1 + y'2 s
N sei der dem Punkte M entsprechende Punkt des Kreises; ziehen
wir nun MP und NR senkrecht zu Ox und MV dazu parallel, so
haben wir
OB= OP + -MV=-= + i, RN =MP+ VN =y- - ry
und da N dem gegebenen Kreise angehört, so ist O2 + BRN2- a2,
folglich (x + 1)2+ ( + s )2
oder auch 2 + 2 + (x +yy') n2... (16)
dies ist die Differenzialgleichung der Traktrix; die Integration derselben läfst sich in folgender Weise ausführen. Schreiben wir nämlich so i2x +2yy, cr
s=-tl 2+ y2 _- 4- td log (x + y- n2),
X + y - n2 dx
so finden wir s= - l log (x2+-2 - 2);... (17)
1) S. Riccati, De usen motuts tractorii in constructione aeqlt. diff. (Bologna
1752). Der wesentliche Inhalt dieser Abhandlung ist im II. Bande der Institutiones analyticae c V. Riccati et H. Saladino collectae (Bononiae 1767, S. 470
-487) wiedergegeben.