Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Einundzwanzigstes Kapitel: Die Traktrix-Kurven. 567
~Trägt man auf den Tangenten einer gegebenen Kurve r von den
Berührungspunkten aus eine konstante Länge ab, so bildet der Ort
der Endpunkte eine neue Kurve E, welche man die Aquitangentialkurve von r nenntl), während r die Traktrix von E heifst (welch
letztere alsdann die Basis der Traktrix genannt wird)." Solche Kurvenpaare kommen in Fragen der angewandten Mathematik vor2).
Ist die Kurve F gegeben, so läfst sich ihre Aquitangentialkurve
durch einfache Differenziationen bestimmen. Sind nämlich x = x(s),
y = y(s) die Ausdrücke für die Koordinaten der Punkte von r in
Funktionen des Bogens, und 1 die konstante Länge, so werden die
Koordinaten des zugehörigen Punktes von E sein
X-T- x +- ds Y- y + ds
d s dy
Bezeichnen wir nun den Bogen von E mit S und beachten dafs
der Krümmungsradius R von r durch die Gleichung
j _d2 / 2i /{d2\2
Rp(2 dds)2 ) \dS2,
bestimmt wird, so folgt
(\dS +... 2 (16)
eine bemerkenswerte Beziehung zwischen r und E.
Eine weitere Beziehung kann folgendermafsen ausgesprochen
werden: Die Normale im Punkte P von E, der Äquitangentialkurve
von r, welche dem Punkte 1M dieser letzteren entspricht, geht durch
den zu M gehörenden Krümmungsmuittelpunkt von F. Um diesen
Satz zu beweisen, beachten wir, dafs die Koordinaten dieses Krümmungscentrums sind
x0,= x + R d Yo 2= R ds '
während - wenn t, r die laufenden Koordinaten bedeuten - die Gleichung der Normalen in M zur Kurve E lautet
( -x) ds + ( rY) d -= 0;
setzen wir nun in die linke Seite dieser Gleichung für X und Y ihre
Werte und alsdann = xo, ^= Yo, so erhält man als Resultat:
(dy d-x dx d2 y -) O
L\ ds^ d2 S _s o-ds
in Ubereinstimmung mit obigem Satze. - Die Bedeutung dieses Satzes
liegt vornehmlich darin, dafs sie uns gestattet, das Krümmungscentrum
für einen beliebigen Punkt von r zu konstruieren, wenn man die
1) Brocard, Notes de bibliographie des courbes geometiiqtzes; Pcartie complieentai-re (Bar-le-Duc 1899) S. 58.
2) B our 1 et, Nouveau traite des bicycles el des bicyclettes (2. Aufl. Paris 1898).