Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

32 II. Abschnitt: Kurven dritter Ordnung.
rechtwinkliges kartesisches Axensystem, kann immer auf die Form
gebracht werden
(xC+ßy)(x2-+y2)+ax2+2hxy+7by2+2gx-+2fy+c=O. (l)
Aufser den cyklischen Punkten besitzt die Kurve im Unendlichen
noch einen immer reellen Punkt, nämlich den unendlich fernen Punkt
der Geraden ax + ßy = 0; wenn man daher die x-Axe parallel zu
dieser Geraden nimmt, so vereinfacht sich Gleichung (1) und wird zu
y(X + y2) + ax2 + 2^hy + by2 + 2g 2fy + C =. (2)
In jedem der cyklischen Punkte giebt es eine bestimmte Tangente
an die betrachtete Kurve; die beiden so erhaltenen Geraden sind konjugiert imaginär und treffen sich in einem reellen Punkte F, dem
aufserordentlichen Brennpunkte oder Centrum der Kurve, dessen
Koordinaten
a -- b
x=h-, y — 2 sind...... (3)
Nehmen wir diesen Punkt als Koordinatenanfang, indem wir die
Richtung der Axen beibehalten, so bekommt Gleichung (2) die Gestalt:
(y + a) (x + y2) + 2gx +2fy + c -... (4)
Von jedem cyklischen Punkte lassen sich vier Gerade ziehen, die
anderswo die cirkulare Kurve dritter Ordnung vom Geschlechte 1 berühren; es entstehen so zwei Büschel von je vier Strahlen, die nach
dem Salmonschen Satze projektiv sind (s. Nr. 12). Beachtet man, dafs
die Projektivität sich auf vier verschiedene Weisen aufstellen läfst,
und dafs ferner jede der Tangenten, die von dem einen Kreispunkte
gezogen sind, die von dem anderen gezogenen trifft in Punkten, welche
die Brennpunkte der Kurve sind, so sieht man: Die 16 Brennpunkte
einer eirkularen Kurve dritter Ordnung (von denen jedoch nur 4 reell
sind) liegen zu je vieren auf vier (durch die cyklischen Punkte gehenden Kegelschnitten, d. i.) Kreisen, ein bemerkenswerter Satz, der gewöhnlich,der Hart'sche Satz" genannt wird1).. Für eine rationale
cirkulare Kurve giebt es nur 4 gewöhnliche Brennpunkte, wenn sie
einen Knoten- oder isolierten Punkt besitzt, 1 nur, wenn sie eine
Spitze hat.
Jegliche Parallele zur x-Axe trifft die Kurve (4) in zwei in endlicher Entfernung belegenen Punkten, deren Abscissen man durch
Auflösung der entsprechenden Gleichung nach x erhält; nimmt man
jedoch y -- a, so wird eine Wurzel der Gleichung (4) unendlich
grofs, und daher stellt die Gleichung
y+a=...... (5)
1) Salm on-Fiedler,Ebene Turven (Leipzig1873) S.177; s. auch M.Disteli,
Die Metrik der ci7rkularen Kurven dritter Ordnung im Zusammenh ang meit geometrischen Lehirsätizen Jacob Steiners (Zürich. Ges. XXXVIII, 1893).