Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

536 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
und zur Darstellung aller fraglichen Kurven dienen kann. Ihre Evoluten erfreuen sich einer eleganten Eigenschaft, die wir jetzt darlegen
wollenl). Zu dem Zwecke beachten wir, dafs aus den Beziehungen,
welche die natürlichen Kurvenelemente R und s mit denen der Evolute verknüpfen (Nr. 251), sich ergiebt, dafs
i~ ~ ds
Nun kann man aus Gleichung (16) der Reihe nach ableiten:
=d" O d " --
de~ p.dQ ds2= dQ2+2.d2 d Qd
ds- _ d
hieraus und aus (19) folgt
B, = nikp^1 2-k p2.
Wenn man nun durch das Krümmungscentrum C eines beliebigen
Kurvenpunktes P die Parallele zur Tangente zieht, und deren Schnitt
D mit dem Radius vector OP bestimmt, so hat man
CD = R. ctg t;
setzt man für R seinen Wert kp", und für ctg i den Ausdruck
/A -- ioa
-2 so kann man schreiben
CD =- kp- 1 2 p2.
Folglich ist R1 = n * CD,
welche Beziehung die oben angedeutete elegante Eigenschaft ausdrückt und die Krümmungsradien der Evoluten aller durch die Gleichung (19) dargestellter Kurven zu konstruieren lehrt. Unter diesen
befinden sich, wie wir hinzufügen wollen, viele uns schon bekannte
Kurven; man erkennt dies, wenn man die Formeln (15) und (16) anwendet, indem man berücksichtigt, dafs nach Elimination von p aus
(19) und (20) man erhält
n
R- 7kn + 1 o Cg n+I
1) Sie bildet den Gegenstand der Question 493 der Nouv. Ann. de Math.;
die so lautet:,P sei ein Punkt einer Kurve A, C das Krtmmungscentrum für
P, O ein fester Punkt als Ausgangspunkt der Radienvectoren; CD sei senkrecht zu OP und D der Schnittpunkt von CD mit dem Vector PO bezw. seiner
Verlängerung. Wenn der Krümmungsradius der Kurve A proportional einer beliebigen Potenz n des von 0 auf die Kurventangente gefällten Lotes ist, so ist der
Krümmungsradius der Evolute von A, der dem Punkte C entspricht, gleich n CD";
eine Lösung derselben, die von der im Texte gegebenen verschieden ist, findet
sich im I. Bd. (1862) dieser Zeitschrift (S. 321-22); sie rührt von Sacchi her.