Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

530 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Dies ist die analytische Darstellung der gesuchten Kurve, im Falle
m =+ 1. Offenbar sind diese Kurven algebraisch oder nicht, jenachdem m rational ist oder nicht; wenn m eine ganze Zahl, so sind sie
aufserdem rational.
In dem bis jetzt ausgeschlossenen Falle m = 1 wird G1. (16)
x 1 -+ cos r = cosp-d Cp sin * p 1 r dp
a sin2 p J (1- cos p)sin 2 - cos 2 sin p
wird integriert und die Integrationskonstante mit c- bezeichnet, so
ergiebt sich
sin cp
2x + a = c(1 - cos E) - a(1 - cos E) log X + cs,1
und bei Anwendung der Gleichung (12) t (18)
sin rp
2y = c sin Tp + a(1 - cos Cp) - a sin p log 1+ cos
Diese Gleichungen stellen die Kurve in dem jetzt betrachteten Falle
dar; sie ist im allgemeinen transscendent. - Setzen wir im besonderen a = 0, so erhalten wir
x = c(1 - cos cp), y = c sin p;
durch Elimination von p ergiebt sich hieraus
x2 + y2 - ex = 0,
die Gleichung eines Kreises. Dafs dieser sich unter den gesuchten
Kurven befinden mufste, war vorauszusehen; daher ist dies nichts
weiter als eine Bestätigung der Rechnung.
Zum Schlusse sei bemerkt: Wenn man in der von Bernoulli
gestellten Aufgabe, die durch die Ribaucour'schen Kurven gelöst wird,
an Stelle des Verhältnisses das Produkt aus dem Krümmungsradius und der entsprechenden Normalen setzt, so erhält man eine
neue Art von Kurven, deren vollständige Bestimmung, die von
G. Scheffers') ausgeführt wurde, elliptische Integrale verlangt.
Fünfzehntes Kapitel.
Die Spirale von Norwich oder Sturm und die Euler'sche Kurve.
220. Ein ziemlich allgemeines Problem, das zuerst von Jakob
Riccati gelöst wurde, ist folgendes: "Eine Kurve zu bestimmen, für
welche der Ausdruck des Krümmungsradius in einem beliebigen Punkte
als Funktion des zugehörigen Radius vector gegeben ist"'). Dieses
1) Einführung in die Theorie der Kurven in der Ebene und im Raume
(Leipzig 1901) S. 98-105.
2) Siehe Soluzione generale del problema inverso intorno a' raggi osculatori
(Giorn. de' Letterati d'Italia, XI, 1712).