Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Vierzehntes Kapitei: Die Ribaucour'schen Kurven. 529
als unabhängige Variabele den Winkel (p der Normalen mit der
x-Axe wählt; nennen wir, wie gewöhnlich, den Kurvenbogen s, so
haben wir
dx -= ds * sin cp, dy = ds cos 9p, S = x + y. ctg 9,
ds dx
dg -p sin qp dp;
daher lautet die Bedingung des Problems
dx
sin g, =- nm (x + y ctg p),
sin qp d d v
oder dx = m(xsinp + y cos p)d...... (11)
Dieser Ausdruck ist integrierbar, und liefert, wenn mit a die Integrationskonstante bezeichnet wird,
x + a= r (y sin p-x coso )...... (12)
Eliminieren wir y aus (11) und (12), so erhalten wir
dx sin (p - (x + a) cos p - dqp = mx * dcp
oder dx - x- + cos (p dp a ctg cp d..... (13)
six x
dz w -3 cos qp dgo
Setzt man nun z m + os. dp.(14)
z sin qp
1 sin qp + l
so hat man log -- = m log l sin,
Z 1 + ( os +
das heifst z +os *.' *. (15)
sinm 1 qp
Wegen Gleichung (14) aber wird (13) nun zu
dz
dx + x = a ctg 9. dp,
daher ist xz = afz ctgp c- dw;
also ist wegen (15)
(leos + co Cos ( + cos c os sin.
^x.-s — +Xw = ja J ------— 9 dcp = aJ l q - S1 9 d(p.. (16)
sinm -3-1 (p (1- COS
sinm Jg sin --- / J l cos qp)s p
Unter der Voraussetzung, dafs m + 1, erhält man durch Integrieren,
wenn man die Integrationskonstante mit b bezeichnet:
x(1 + cos p) __1 sin^ - _ 1 sinm + 1
asinm + p -2(m-1)l) (L-cos 9)m-1 2(m+ 1) (1 cos p)m+l
oder, wenn wir mit c die beliebige Konstante ab bezeichnen, und
dann (12) anwenden
sinm +1p 1 - m cosp }
(1 + cos cp) m2-1 1.17)
(1 m cos sp) sinq p a c sin q
(1 + Cos (p)m 2 I '
Loria, Ebene Kurven. 34