Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

522 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Aufmerksamkeit vieler Gelehrten auf sich, besonders in Hinsicht auf
die orthogonalen Trajektorien ); heute ist sie eines der klassischen
Beispiele in den Lehrbüchern über Differenzialgleichungen für deren
Anwendungen auf die Geometrie. Auf die das Problem lösenden
Kurven traf Ribaucour im Verlauf seiner berühmten Untersuchungen
über die Minimalflächen2), daher wurden sie Ribaucour'sche Kurven
genannt; wir werden uns dieser Bezeichnung bedienen, um keine neuen
Namen einzuführen, können jedoch nicht verschweigen, dafs es richtiger und gerechter gewesen wäre, sie Bernoulli'sche Linien zu
nennen.
Nimmt man die Abscisse als unabhängige Variabele, so lautet die
Differenzialgleichung für das Bernoulli'sche Problem:
_ I,[i + (dy )
2L = fl _ 1 + 4-n) ]
d2y ~ni [ \dx+ Jä;
dx2
oder einfacher +
dx2 -y 1 \dx J
In Anwendung allgemeiner Methoden ersetzen wir diese Gleichung
durch die beiden folgenden
dy y, dy dy' _ i +
dx v x dx- dx y- 'iJ
Nach Elimination von dx ergiebt sich
y'dy' dy
1+y2 y= 7'
die alsbald integriert ergiebt:
y-I 1- 1... (i)
Eine neue Integration liefert - wenn man als Anfang den Ausgangspunkt der Kurve nimmt -
y
x ^ dy (2)
X =/;:- j,..... (2)
welches Resultat im wesentlichen schon der Aufgabensteller erhielt.
Aus der Theorie der binomischen Differenziale ergiebt sich, dafs die
1 i 1
angegebene Quadratur ausführbar ist, wenn - = k oder -2- ==
wo k eine ganze Zahl ist, d. h. wenn n die Form oder 7 hat,
also gleich h ist, wo h eine beliebige ganze Zahl. Wir setzen nun
1) Vgl. Joh. Bernoulli Opera II, S. 290-91.
2) Etude szr les elassozdes ou surfaces ä courbure moyenne nulle, ~~. 128
-129 (M6m. de Belgique, XLIV, 1880).