Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

520 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
wo F eine gegebene Funktion ist. Setzt man y - x tg 2 z, so
wird sie dz+ n
tg. + Cu - yF(ß)'
und giebt x...... (5)
d -- -tg
=fF(z)
womit das Problem auf eine Integration zurückgeführt ist.
Die o. a. Forschungen Johann Bernoulli's führten ihn zur Formulierung eines anderen Problems, das er den Mathematikern seiner
Zeit vorlegte ). Es ist folgendes: "Eine Kurve aufzufinden, deren
Subtangente in einem gegebenen Verhältnisse m zur Tangente steht."
Es übersetzt sich in folgende Differenzialgleichung
xdy -y dx = my /dx2-+ dy2;..... (6)
da diese homogen ist, so ist ihre Integration auf Quadraturen zurückführbar, die auch in jedem Falle ausführbar sind. Die bezügliche
Rechnung ist wegen der auftretenden Wurzelausdrücke umständlich;
um jene zu vermeiden, hat Hermann einen Kunstgriff erdacht, der
nicht ohne Interesse ist2); er schlug vor, zu setzen
dx
y= -d, _. (6) - -Y=2,.2. (7)
wo t und l zwei neue Variabelen bedeuten; setzen wir diese Werte
in (5) ein, so erhalten wir
x= ( + 2) - 2...... (8)
Infolge der Gleichungen (6) und (8) wird Gleichung (7)
-d (-r; +dr- ( d - - drl) - (.d +rld) -.0
g2 42 + id-^^+ '2 ö
oder auch -- d in - d+
doder d - dr d~ + d+ r ( m 2(de +- dr)
Die Integration ist ausführbar, und man findet
^+ ~j....... (9)
wo a die Integrationskonstante ist. Die kartesische Gleichung der
Kurve ist nichts anderes als das Resultat der Elimination von e und X
1) Problema ab eruditis solvendum (Acta erud. Mai 1693). Einige Lösungen
desselben s. in dem Artikel Ad problemna in Actis Eruditorun? an. 1693 mense
Majo propositum (Leibniz, ed. Gerhardt, V, S. 288-294). M. s. auch de 1'Höpital, Solution d'un probleme de geonetrie que 'on a propose deptzis peut dans le
Journal de Leipsic (Mem. de Paris X, 1866-1899).
2) Brief an Leibniz vom 28. Okt. 1705 (Leibniz, ed. Gerhardt, IV, S. 286-7).