Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Dreizehntes Kapitel: Die Debeaune'schen Kurven. 517
Diese Aufgabe wurde von Debeaunel) dem Descartes vorgelegt, und
dieser hat sie in einem seiner Briefe überliefert2); dies ist wohl die
erste Aufgabe, die dahin zielt, eine Kurve zu finden, die als Tangenten
Geraden hat, die einer bestimmten allgemeinen Bedingung genügen
sollen; daher besitzt sie ein nicht gewöhnliches historisches Interesse,
indem sie den Beginn des sogenannten,calculus tangentium inversus"
bezeichnet.
Um die Gleichung der gewünschten Linien (die man mit Recht
Debeaune'sche Kurven nennen darf3)) zu finden, nehmen wir ein
rechtwinkliges kartesisches System, dessen x-Axe die Gerade GCD,
und dessen Anfang ihr Schnitt 0 mit EF ist. Dann wird - wenn
wir den Winkel 2 vorläufig beliebig nehmen - die Gleichung der
Geraden EF lauten
y - x tg = 0,
und die Gleichung (1) wird dann gleichbedeutend mit folgender
y _ n
dx y- xtg'i
Ydy
die wir alsdann so schreiben:
dx tg.. (2)
dy n n
Betrachten wir y als Funktion von x, so sehen wir, dafs diese eine
lineare Differenzialgleichung ist, deren allgemeines Integral lautet
ytgR y tg:Z
x=e n (e fe n *. d+c);
die teilweise Integration zeigt uns aber, dafs
ytgA tg tg
C^e.dyn d-1ye_ e —
J n d tgY Y tg2;
und daher _ tg
X y n +tg2 ce (3)
X=tg tg( 3
Dies ist die allgemeine Gleichung der Debeaune'schen Kurven,
in dem speziellen Falle A= - vereinfacht sie sich und wird
_ x = -- y n+ ce n;... (3')
1) Wir schreiben dem P. Tannery folgend (Bibl. math. 3. Reihe, II, 1901,
S. 149) Debeaune, statt, wie man gewöhnlich thut, De Beaune.
2) Brief an Debeaune vom 20. Febr. 1639 (Oeuvres de Descartes, ed. Adam
et Tannery, II, Paris 1898, S. 510-519.
3) Courbe Beauniene schreibt Saverien S. 241 des I. Bd. seines Dictionnaire universel de mathematique et de physique (Paris 1753).