Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

28 I1. Abschnitt: Kurven dritter Ordnung.
b) Wenn hinegegen die Kurve eine Spitze hat, ist ihre Gleichung
auf folgende Form zu bringen1)
x = X........ (10)
also QXl = A3, QX = Ä2, 3 x= -1,
und statt der Gleichung (9) erhält man folgende Kollinearitätsbedingung
a 4- +3 - Y = o....... (11)
c) Wenn schliefslich die Kurve einen isolierten Punkt hat, so
wird man ihre Gleichung schreiben können2):
(xLZ + X2)X3 ]. - 1... (12)
und hat dann folgende parametrische Darstellung
QX 1 +, x2 = (1 +2), Qx = 3
und die Kollinearitätsbedingung. + ßs+- r - -ß = o0...... (13)
Setzen wir allgemein l = tg 1, so wird diese zu tg (a + b + c) = 0,,oder a + b + -- 0 (mod. r). (14)
Diese Formeln wenden wir auf die Untersuchung der Steiner'schen
Polygone an3), die einer rationalen ebenen Kurve dritter Ordnung
einbeschrieben werden können. Zu diesem Zwecke nehmen wir als
~Fundamentalpunkte des Polygons" die beiden Punkte (r,) und (v2)
der Kurve; wir nehmen auf derselben einen dritten beliebigen Punkt
(l), verbinden diesen mit (,r) und bestimmen den dritten Schnittpunkt der Verbindungslinie mit der Kurve (t2); wir verbinden (e2)
mit (r2) und nennen den Punkt, in welchem diese Gerade die Kurve
nochmals trifft (3)... So erhalten wir nach 2n Operationen auf der
Kurve 2n + 3 Punkte, (v%), ), (), (2), ()....... (i)2n), (t+2n+1)
zwischen deren Parametern eine der folgenden Gruppen von 2n Bedingungen bestehen, je nachdem die Kurve einen Knoten-, Rückkehroder isolierten Punkt hat:
1) Salmon, Analytische Geometrie der höheren ebenen Kurven, deutsch v.
Fiedler (Leipzig 1873) S. 221.
2) Daselbst S. 226. Vgl. Zahradnik, Contribution ä la theorie des cubiques
cwspidcles (Nouv. Ann. 3. Ser. XVIII, 1899).
3) Diese Anwendung findet sich für die Kurve mit Knotenpunkt entwickelt
in einer Bemerkung von Em. Weyr, Über Kurven dritter Ordnung mit eiinemi
Mittelpunkt (Math. Ann. III, 1871); für die übrigen in einem Artikel vom Verf.,
I poligoni di Steiner nelle cubiche razionali (Prager Ber. 1896).