Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

510 VI. Abschnitt: Transscendente Kurven.
Vorschlage von P. Mansion') mit dem Namen die Kurve von
Delaunay belegt worden, welcher Name dem von Lindlöf2) angewandten, Kettenlinie (elliptische, hyperbolische, parabolische,
je nach der Art der rollenden Kurve) vorgezogen wird. C. Sturm3)
fand mit Anwendung der Variationsrechnung die Differenzialgleichung
der Kurve von Delaunay als
dx c
y2 2ayd+ b=o.... (1)
oder auch dx = y ~ ' dy.... (2)
/4a2y2- (y2 b2)2
Um zu beweisen, dafs diese der angegebenen Rollkurve angehört, betrachten wir eine Ellipse mit den Axen 2a und 2b, die ohne Gleiten
auf der x-Axe rollt (Taf. XV, Fig. 123). Ihr Brennpunkt F wird
dann eine Kurve beschreiben, die (infolge des Huygens'schen Satzes,
s. Nr. 205) als Normale die Verbindungslinie von F mit dem entsprechenden Berührungspunkte K der Ellipse mit der Grundlinie hat.
Es seien OP =x, PF = y die Koordinaten von F; wir haben dann
offenbar
offenbar ~ y = FK. sin.FKP.
Nun ist FKP das Komplement des Winkels, den die in F die
Delaunay'sche Kurve berührende Gerade FT mit Ox bildet; demnach
i~st ~ sin FKP cos FTK =- -
cs
dx
und also y =FK. d.
Betrachten wir auch den anderen Brennpunkt F' mit den Koordinaten
OP'= x, P'F'- y'. Da die Winkel FKP und F'KP' gleich sind,
so findet man ebenso dx
- F'K ds
Nun beachten wir, dafs
FK + F'K = 2a, y. y' = b2;
man kann nun FK, F'K und y' eliminieren und findet so? 26Z x +2 d
y 2ay d + b2 =0
als Differenzialgleichung der vom Brennpunkte F beschriebenen Kurve.
Wechseln wir nun das Vorzeichen des zweiten Gliedes, so bekommen
wir eine Gleichung, die der von F' beschriebenen Kurve angehört; da
die gefundenen Gleichungen mit (1) übereinstimmen, so ist die Be1) Habich, Sur une question de roulettes (Mathesis VI, 1880).
2) Theorie des surfaces de revolution ä courbure moyenne constante (Mem.
de la Soc. des Sciences de Finlande, 1863).
3) Note ä l'occasion de l'article precedent (von Delaunay) (Liouvilles Journ.
VI, 1841).