Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe, von Fritz Schütte. Mit 174 Figuren auf 17 lithographierten Tafeln.

Neuntes Kapitel: Die Epicykloiden, Hypocykloiden u. d. Kreisevolventen. 501
die analytische Darstellung aller Kreisevolventen. Wir wollen aus ihr
einige Folgerungen ziehen. Zunächst ergiebt sich
ds
ds co //2 + 2- 2, (5)
und somit, wenn h == O,
1 2 —9 2 2 nh2 + a2 o2
S= -y t Ä a+ co + h- log + Const.;. (6)
s -= — Co - _jA2 + alCo
ist dagegen A h 0 und nimmt man als Anfangspunkt des Bogens denjenigen, für welchen o - 0 ist, so bekommt man
s = 2 ac......... (6')
Beachten wir ferner, dafs
dx dy
d - =a sin o - y, cl - = - a cos ao + x,
d = 2a cos co- xn d2Y 2a sinco- y,
du 2 COS C o — X y
so erhalten wir für den Krümmungsradius R, wenn h + 0,
8
(h2 +a2s2)2
a ca2 + h2 - ah (7)
und wenn h-=0 = a 3....... (7')
Die Gleichungen (6) und (7), indem sie R und s in Funktionen des
Parameters co liefern, genügen zur analytischen Darstellung der Kurve
in natürlichen Koordinaten; eliminiert man z. B. aus (6') und (7') o,
so erhält man 2- 2as,.... (8)
welches die natürliche Gleichung der gewöhnlichen Kreisevolvente ist 1),
sie zeigt, dafs die betreffende Kurve zur Klasse der in Nr. 192 bezeichneten Kurven gehört, ferner beweist sie: Rollt eine gewöhnliche
Kreisevolvente auf einer Geraden, so ist der Ort der Krimmungscentren für die aufeinander folgenden Berührungspunkte mit der
Geraden eine Parabel2). Beachten wir auch, dafs, wenn s der Konds
tingenzwinkel ist, im allgemeinen Falle = -R, und im vorliegenden
Falle R ==/2as ist; folglich ist hier / —d = / a- d; integriert:
1) Amp ere, Memoire sur les avantages qu'on peut tirer dans la theorie des
courbes de la consideration des paraboles osculatrices (Journ. de l'Ec. polyt. XIV
Cah. 1808).
2) Mannheim, Recherches geometriques etc. (Liouvilles Journ. 2. Ser. IV,
1859) S. 97. Ein ähnlicher Satz wurde später von G. Bellermann (Ueber Rouletten, welche entstehen, wenn eine Cykloide auf einer anderen rollt, Berlin 1892,
S. 17-18) angegeben; er lautet: Rollt die Evolvente eines Kreises auf einer
Geraden, so beschreibt ihr Mittelpunkt eine Parabel; rollt sie aber auf einer ihr
kongruenten Kurve, so dafs sich die entsprechenden Punkte einander berühren,
so beschreibt der Mittelpunkt des Kreises eine archimedische Spirale.